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Hallo! 

zu der Kombinatorik
a)           ich habe gerade nachgedacht wie viele Möglichkeiten es gibt zwei "2 Noppen mal 4 Noppen" große Klemmbausteine aufeinander zustecken?!

Meine Überlegung wäre das es ja eigentlich die einfache Fakultät wäre. 
 aber 8! wäre ja falsch, da man zwei Objekte mit 8 potenziellen verbindungs-Löchern,-Noppen gibt. Aber 16! wäre eine zu große Anzahl an möglichkeiten. 


Habe auch schon im Internet recherchiert, also nicht explizit die Sache mit den Klemmbausteinen. Sondern allgemein über Kombinatorik. 

b)          könnte mir evtl. jemand eventuell erklären wie man an eine Aufgabe herangeht, in der es um die Berechnung der Möglichkeiten geht? 
 Ich bin auf diese Formeln gestoßen, verstehe diese aber nicht wirklich:
1) V-klein-K= n! / k!*(n-k)!
------- was bedeutet V und n und k?!
2) V-klein-n= n! / (n-k)!
------- ?!
3) C-klein-n = n! / k!*(n-k)!
------- C?


Das Summenzeichen
könnte mir evtl auch jemand den Nutzen und die Verwendung des Summenzeichens ( ∑ ) erklären? 
Auch was es mit i, also dem darausfolgenden Term auf sich hat und dem Laufwert. 



Vielen lieben Dank!
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gefragt

Schüler, Punkte: 37

 

Hallo,

ich bin mir nicht 100% sicher ob ich die Fragestellung richtig verstehe. Du hast 2 Noppen von einer Art (nennen wir sie mal Noppen1) und 4 von einer anderen (nennen wir sie Noppen2) ? Und willst jetzt wissen wie du diese kombinieren kannst? Also sowas wie, ich habe 2 Hosen und 4 Pullis, wie viele verschiedene Outfits habe ich?
Wenn ja dann ist die Kombination Noppen1 und Noppen2. Wir haben für Noppen1 2 Möglichkeiten diese zu vertauschen. Für Noppen2 haben wir 4 Möglichkeiten. Also haben wir insgesamt $2 \cdot 4=8$ Möglichkeiten.

Das was du da beschreibst ist der Binomialkoeffizient
$$ \binom nk = \frac {n!} {k!(n-k)!} $$
Denn nutzt man, wenn man aus einer $n$-elementigen Menge, $k$-Elemente kombinieren möchte.
Das beliebteste Beispiel ist der Lottoschein. Wir wählen aus $49$ zahlen $6$ Stück aus. Das bedeutet es gibt
$$ \binom {49} 6 = \frac {49!} {6! \cdot 43!} = 13983816 $$
Möglichkeiten.

Das Summenzeichen beschreibst wie du schon richtig sagst eine Summe. In den Laufindex oder Laufwert werden dann ab einem bestimmten Startwert alle natürlichen Zahlen eingesetzt, bis zu einem bestimmten Endwert (der für gewöhnlich oberhalb der Summe steht).
$$ \sum\limits_{i=1}^n i = 1 + 2 +3 + 4+ \ldots + (n-1) + n $$
oder
$$ \sum\limits_{i=3}^5 2^i = 2^3 + 2^4 + 2^5 $$

Grüße Christian
  ─   christian_strack 29.07.2021 um 09:36

Es geht um Noppensteine, also Lego®-Steine und zwar 2*4 Legosteine® und von denen zwei Stück. Wie viele Möglichkeiten gibt es diese zusammenzustecken. @christian_strack   ─   userd6f0be 30.07.2021 um 10:52
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1 Antwort
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Also die gesuchte Anzahl zum Zusammenstecken von zwei Steinen ist: unendlich viele Möglichkeiten.

Das hat aber nichts mit Kombinatorik zu tun, sondern mit dem Abzählen aller Möglichkeiten, die sich aus der Geometrie der Steine ergibt.
Es gibt ja 8 Möglichkeiten, dass ein Stein mit genau einem Noppen in dem anderen Stein steckt. Dann kann man aber die beiden Steine in einem Winkelsegment gegeneinander verdrehen, d.h. es sind unendlich viele Winkel einstellbar. Deshalb gibt es eigentlich unendlich viele Möglichkeiten.

Wenn man als Winkel nur 0 und 90 Grad zulässt, ist es immer noch keine Frage der üblichen Kombinatorik-Formeln. Die Anzahl ergibt sich aus der Geometrie und den Möglichkeiten die Steine zu verbinden. Ich kriege da 134 heraus. Das wäre das Doppelte der Primzahl 67...

Dann wäre noch die Frage, ob symmetrische Möglichkeiten tatsächlich alle gezählt werden sollen, also ob die Noppen und Lücken eines Steins benannte Noppen und Lücken sind und sich geometrische Symmetrien unterscheiden sollen.  Außerdem ist die Frage, ob die beiden Steine unterscheidbar sein sollen. Das habe ich bei meiner Zählung berücksichtigt, also die maximale Anzahl bestimmt. Wenn man diese Bedingungen alle weglässt, dann bleibt ein Minimum von 15 Möglichkeiten übrig, wenn ich das richtig sehe.

Also: Für eine ordentliche Antwort gibst Du zu wenige Informationen.
Nimm Dir zwei Steine und probiere es selber aus - bekommst Du die gleichen Zahlen heraus wie ich?

Zum Lösen der Klemmbaustein-Aufgabe werden die von Dir genannten Formeln und das Summenzeichen nicht benötigt. Die werden aber sicherlich an vielen Stellen im Internet gut und ordentlich erklärt. Deswegen bitte ich Dich, das erstmal selber zu recherchieren und dann konkrete Fragen dazu zu stellen. Am besten im Zusammenhang mit einer Aufgabe, bei der man das benötigt.
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Punkte: 975

 

Meine hier gestellte Frage waren zwei Fragen... Das dass Summenzeichen nichts mit der Aufgabe zutun hat, ist mir klar! Aber auch hierzu habe ich eine vernünftige Frage gestellt.
Meine Gliederung des Posts sollte klar sein. Aber trotzdem danke....

Zu der Lego-Stein Aufgabe habe ich alle benötigten Informationen gegeben.

Des Weiteren recherchiere ich selbst. Ich bin aber ein Verfechter von unterschiedlichsten Quellen und Formulierungen um dies dann zu verstehen....

die Aufgabe zu den Legosteinen habe ich heraus...

Dazu gab es auch einen Artikel bei Spektrum. https://www.spektrum.de/kolumne/das-maximum-der-legostein-moeglichkeiten/1668248
  ─   userd6f0be 02.08.2021 um 08:40

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Ich mag downvotes nicht, wenn ich mir Mühe gegeben habe. Wer auch immer meint, dass ich "etwas unfreundlich" (das war die Begründung) geantwortet hätte, darf das natürlich meinen. Daraus einen downvote abzuleiten, halte ich allerdings für äußerst übertrieben, weil in der Antwort auch noch jede Menge andere Arbeit steckte und auch gar nicht unfreundlich sein sollte.
Ein downvote ist aber auf jeden Fall ein geeignetes Mittel, jemanden zu vergraulen, der sich bei der Antwort Mühe gegeben hat (die Mühe hatte ich mir auch bei der anderen Frage des gleichen Fragestellers gegeben - eine längere Antwort dauert auch schon mal eine halbe Stunde!) Downvotes sind anonym, also kann man das ja einfach mal machen. Ich bleibe da kopfschüttelnd und ratlos zurück.

Zu meiner Antwort und zum Kommentar des Fragenstellers:
1) Mir war klar, dass es sich um zwei Fragen handelte. Ich wollte aber nur auf eine davon antworten. Das hatte ja, wie erwähnt, lange genug gedauert. Es besteht sicherlich keine Pflicht, bei mehrteiligen Fragen zu allen Teilen etwas schreiben zu müssen.
2) Die zweite Frage zum Summenzeichen besteht aus mehreren Unterfragen. Ich hatte das so verstanden, dass nur bekannt war, dass es das Zeichen gibt. Die Nutzen, die Schreibweise und die Anwendung erscheinen unklar zu sein, also eigentlich alles zu diesem Symbol. Natürlich ist das eine vernünftige Frage.
Dass hier nicht grundlegende Notationsregeln pauschal von vorne bis hinten erklärt werden, sollte eigentlich klar sein. Sonst kommen bald noch Fragen wie "Habe das kleine Einmaleins nicht verstanden. Kann mir das bitte jemand nochmal erklären?" - deshalb sollten immer möglichst konkrete Beispielaufgaben angegeben werden, anhand derer das erklärt werden soll.
Ich hatte lediglich genau darum gebeten. Und das ist auch eine vernünftige Antwort - aus den genannten Gründen.

3) Zur Lego-Aufgabe hatte ich mir in der Tat Mühe gegeben, habe die Möglichkeiten durchgezählt. Meine Ergebnisse weichen von denen im zitierten Artikel ab. Dort wird aber auch nicht erklärt, wie man auf die Anzahl gekommen ist. Aber wenn das als Antwort reicht, dann hätte ich mir die Mühe auch sparen können.
Und mit einer der Formeln aus der Kombinatorik kommt man halt nicht drauf. Daher der Tipp, es selber auszuprobieren. Der Tipp gilt übrigens immer noch. Ganz neutral. Denn ich gehe davon aus, dass es sinnvoll ist, das selber auszuprobieren. Nur dann wird klar, warum die recherchierten Basis-Formeln (Stichwort Fakultät) zur Kombinatorik nicht funktionieren.
4) Es ist nach wie vor nicht eindeutig klar, was bei den Möglichkeiten gezählt werden soll und was nicht. Wenn ich zwei Steine nehme, dann komme ich halt auf größere Zahlen als die in dem Artikel - und mir ist vorhin noch klar geworden, dass ich gar nicht alle Möglichkeiten gezählt hatte, die es gibt. Denn der obere Stein kann ja auch noch jeweils um 180 Grad gedreht werden. Dann sieht das Ergebnis zwar genauso aus wie "bei ohne Drehung" - ist aber streng genommen eine neue Möglichkeit.
Also: Wenn die Voraussetzungen nicht ordentlich geklärt werden, dann gibt es keine eindeutige Antwort. So ist das eben. Und der zitierte Artiekl klärt die Voraussetzungen auch nicht, gibt auch mehrere, ausgewählte verschiedene Antworten. Warum ausgerechnet diese Zahlen genannt werden, ist auch eigentlich beliebig...
5) Ich habe leider keine Zeit, alle meine Möglichkeiten darzustellen (als Video, als Zeichnungen, als Beschreibungen). Und nach dem Downvote - wer auch immer das war - wäre das auch vergebene Liebesmüh.
  ─   joergwausw 02.08.2021 um 09:36

Wie nennt man denn den Oberbegriff zu diesem Problem?

Ich danke auch für die Antwort :)
Ich muss lernen explizierter zu werden... Für mich sind meine Fragen klar, aber diese dann zu formulieren, naja....

Ein Bereich der Kombinatorik ist doch die Fakultät. Dies trifft ja dann auch auf die Lego Steine zu.

wenn man nun 2 Legosteine mit 2*2 noppen nimmt .Dann hat man 2*4 mögliche Noppen zum zusammenstecken. (im rechten Winkel, also ohne schief zusammenstecken usw.)
8!= 8*7*6*5*4*3*2*1
8!=40320
bzw wenn man nur jeweils den Stein A mit Stein B kombiniert 40320/2 Möglichkeiten.


  ─   userd6f0be 02.08.2021 um 11:37

Also wenn man schon recherchiert, dann sollte man den Artikel auch richtig lesen. Klar kommt die Fakultät in der Kombinatorik vor, das heißt aber nicht, dass es eben nur diese Formel gibt. Im Artikel selbst steht "eine exakte mathematische Formel hat sich als erstaunlich schwer ableitbar herausgestellt." Mit den bekannten Formeln der Kombinatorik wirst du vermutlich nicht weit kommen.

Zum Thema Voraussetzungen sollte man vielleicht auch das verlinkte Paper lesen, wo das dann genauer beschrieben sein wird. Habe jetzt nicht reingeschaut. Man darf ja nicht vergessen, dass er Artikel nur für Laien geschrieben ist und aus mathematischer Sicht natürlich nicht sonderlich gut ist, da lediglich ein paar Zahlen genannt werden.

Wie kommst du nun in deinem letzten Beispiel auf $8!$? Wenn ich die Steine an einem Noppen zusammensetze, dann hab ich 4 Ecken, also 4 Möglichkeiten. Jedes Mal kann ich dabei den oberen Stein um 90 Grad drehen, ergibt 16 Möglichkeiten. Dann kann ich den Stein an zwei Noppen zusammen stecken. Da hab ich auch vier Möglichkeiten. Dann kann ich den Stein wieder drehen, ergibt wieder 16 Möglichkeiten. Dann kann ich die Steine mit allen 4 Noppen zusammenstecken. Da hab ich eine Möglichkeit. Mit Drehen dann 4. Ergibt 16+16+4=36. Dann kann ich die beiden Steine noch miteinander tauschen und komme auf 72 Möglichkeiten.

Sicherlich habe ich die ein oder andere Möglichkeit vergessen, aber das ist weit entfernt von deinen 20 bzw. 40 Tausend...
  ─   cauchy 03.08.2021 um 02:21

Ich habe so gerechnet:
1) Steine parallel.
1a) Dann kann der obere Stein mittig auf den unteren (2 Noppen). Dann wird der Stein nach und nach über den anderen "geschoben". Das sind 7 Möglichkeiten. Ohne Rotationssymmetrie sind es 4 Möglichkeiten (wenn die Steine genau übereinander sind, ist hier Schluss wegen Rotationssymmetrie)
-> wenn man den oberen Stein um 180° dreht, weil seine Orientierung eine Rolle spielt, sind es doppelt so viele, also 14, ohne Rotationssymmetrie und mit Orientierung 8.
(ich glaube, hier wird schon deutlich, dass es wichtig ist, Entscheidungen zu treffen, was zählen soll)
1b) Der obere Stein wird nicht mittig, sondern nur mit einer Hälfte auf den unteren gesteckt.
Das sind bei Verschiebung nach rechts 7 weitere Möglichkeiten, nach links nochmal 7, und mit Orientierung nochmal doppelt, also 28.
-> Minimum wären 4 Möglichkeiten, wenn Orientierung und Symmetrien (inklusive Achsensymmetrie! Davon war im Artikel auch keine Rede...) nicht zählen sollen.

1z) Je nach Vereinbarung habe ich also minimal 8, maximal 42 Möglichkeiten.

2) Die beiden Steine haben einen 90°-Winkel zueinander. Gleiches systematisches Vorgehen.
2a) Minimale Zählung: 9 Möglichkeiten
2b) Maximale Zählung: 50

3) Summen:
3a) Minimal: 17
3b) Maximal 92

4) Dann kann man noch den oberen und den unteren Stein tauschen und hat bei Maximal das doppelte, also 184. Minimum wäre bei 17.

5) Wie die im Artikel auf 46 kommen, also was die da weglassen, wird ja verschwiegen. klingt aber jetzt so, dass die Orientierung fehlt, denn 46 ist die Hälfte von 92. Das hätte ich ja dann jetzt nachvollziehen können.
Warum die Orientierung wichtig ist: Es wird ja nicht vorausgesetzt, dass die beiden Steine einfarbig sind. Wenn alle 8 Ecken eine andere Farbe haben (ok, die vier Ecknoppen reichen auch), ist eine Drehung um 180° eben eine andere Möglichkeit.

Und ich vermute, dass die auf 24 Möglichkeiten kommen, wenn im Parallelfall die Achsensymmetrie nicht berücksichtigt wird (das wären dann meine 17+7, wenn ich das richtig sehe...). Warum die im Senkrecht-Fall nicht betrachtet werden muss, ist mir gerade auf die Schnelle nicht klar...

6) Warum die Fakultät nicht funktioniert: Die Formel gilt dann, wenn Du den oberen Stein in 8 gleichgroße Teile teilst (jeweils 1-Noppen-Stücke) und die dann auf verschiedene Arten auf die 8 Noppen des unteren Steins steckst.
Dadurch, dass die 8 Noppen aber miteinander fest verbunden sind, kann keine Umsortierung stattfinden.

Du kannst natürlich erst einen 2x4-Stein aus 8 Noppen beliebig zusammenkleben (8! Möglichkeiten) und diesen 2x4-Stein dann auf maximal 46 Möglichkeiten (oder je nach Symmetrien weniger) zusammenstecken (Orientierung fällt hier ja raus, weil die bei den 8! Möglichkeiten drin ist).

7) Bleiben halt noch die "Non-Standard-Steckmöglichkeiten". Wenn man einen Stein auf den Kopf stellt und dann Noppen zwischen die anderen Noppen klemmt, dann könnte das auch halten... habe leider gerade keine Steine da zum Ausprobieren...
Und im "Randfall", also nur ein Noppen in einem Eckloch, bleibt halt die Option vorhanden, beliebig viele Winkelwerte einzustellen (aber natürlich nicht beliebige Winkel!)...

8) Und als Oberbegriff würde ich wählen: "Systematisches Abzählen von allen Möglichkeiten, zwei 2x4-Klemmbausteine aufeinanderzustecken unter Berücksichtigung von symmetriebedingten Variationen"
Schönes Thema für eine Facharbeit.
  ─   joergwausw 03.08.2021 um 03:43

8) Und als Oberbegriff würde ich wählen: "Systematisches Abzählen von allen Möglichkeiten, zwei 2x4-Klemmbausteine aufeinanderzustecken unter Berücksichtigung von symmetriebedingten Variationen"
Schönes Thema für eine Facharbeit. ─ joergwausw vor 4 Stunden, 11 Minuten
_____ genau das werde ich später auch machen ;)
und danke schön ^^

Wie kommst du nun in deinem letzten Beispiel auf 8! ?
_______ da es zwei Steine sind. Und man kann diese auch vertauschen. Also 4*2.
Welches ich untenstehend wieder revidiert habe.


Also ist die Fakultät nicht hilfreich.



Ich werde mich mal selbst intensiver damit beschäftigen und lade dann ein Dokument hier hoch wie ich daran gegangen bin.


vielen Dank, aber erstmal für die ersten Impulse
  ─   userd6f0be 03.08.2021 um 08:05

-Cauchy
Den Artikel habe ich gelesen ;)
  ─   userd6f0be 03.08.2021 um 08:13

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Du kannst das Dokument dann auf diesem Forum gerne auch unter „Lernplaylisten“ veröffentlichen :)   ─   derpi-te 03.08.2021 um 10:39

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