Beweis: d+e+f< de/f + ef/d + df/e

Aufrufe: 395     Aktiv: 12.04.2023 um 14:49

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Hallo, ich habe folgende Aufgabe, die ich beweisen möchte:
 d+e+f < de/f + df/e + ef/d

Ich weiß nun aber überhaupt nicht, wo ich anfangen soll. Ich brauche hier also keine Lösung, sondern den Ansatz, den ich einfach nicht finde. 

Dankeschön schonmal!

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Schüler, Punkte: 18

 

Auch hier (vgl Deine erste Frage) gib die vollständige Aufgabenstellung mit allen Angaben (die hier wieder fehlen).   ─   mikn 11.04.2023 um 15:51

Seien d,e,f positive Zahlen. Zeige, dass d+e+f < de/f + df/e + ef/d sein muss.   ─   fibonacc i 11.04.2023 um 15:54

a,b,c kommen gar nicht vor, aber man kann sich denken, was Du meinst. Einfacher für uns ist es, wenn Du beim nächsten Mal gleich die vollständige Info mitlieferst..   ─   mikn 11.04.2023 um 15:55
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Hallo

Also ich gebe dir hier einen kleinen Tipp: 
Versuche mit folgender Ungleichung anzufangen $$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$$ schreibe diese dann um und vereinfache sie.
Ich habe absichtlich $a,b,c$ gewählt da du dann irgendwann $a,b,c$ geeignet substituieren kannst so dass du deine Fomel von oben bekommst.

Hilft dir das weiter?
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Student, Punkte: 1.95K

 

Also, ich habe jetzt mit binomischen Formeln aufgelöst , sodass ich auf
a^2+b^2+c^2Dann muss a/bc + b/ac + c/ab >1/c +1/b + 1/a sein.
Richtig? Kann ich dann Zähler und Nenner tauschen und die Ungleichung gilt noch?
  ─   fibonacc i 11.04.2023 um 20:36

Was ist denn deine Ungleichung mit $a^2+b^2+c^2$ drin? Momentan steht da ja noch keine Ungleichung.   ─   karate 11.04.2023 um 20:49

Sorry, ist a^2+b^2+c^2>ab+bc+ac..   ─   fibonacc i 11.04.2023 um 21:26

Ja genau, nun wäre es an der Zeit geeignet zu substituieren. Wie würdest du $a,b,c$ substituieren?
  ─   karate 11.04.2023 um 21:27

Ich denke mal, a=1/d, b=1/e und c=1/f.
Dann wäre ja ef/d + df/e und de/f> d+e+f, oder?
  ─   fibonacc i 11.04.2023 um 21:33

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Ja fast, also dann bekommst du zuerst direkt nach dem Substituieren $$\frac{1}{d^2}+\frac{1}{e^2}+\frac{1}{f^2}\geq \frac{1}{de}+\frac{1}{ef}+\frac{1}{df}$$ nun siehst du was du noch zu tun hast um auf deine Ungleichung zu kommen?   ─   karate 11.04.2023 um 21:37

Hmm, ich hatte ja oben schon umgeformt zu a/bc +b/ac+c/ab>1/a+1/b+1/c. Dann wäre doch für a=1/d, b=1/e,c=1/f die Gleichung direkt auf d+e+f < de/f + df/e + ef/d zurückzuführen, oder?   ─   fibonacc i 11.04.2023 um 22:47

Sorry ich sehe nicht ganz wie du das oben schon umgeformt hast zu $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ aber wie du siehst würde dir das auch nichts bringen. Was wäre denn wenn du $\frac{1}{d^2}+\frac{1}{e^2}+\frac{1}{f^2}\geq \frac{1}{de}+\frac{1}{ef}+\frac{1}{df}$ mit einem geeigneten Faktor multiplizieren würdest?
  ─   karate 11.04.2023 um 22:52

Ich habe a^2+b^2+c^2>ab + bc + ac durch abc geteilt.
Dann eingesetzt wäre doch 1/d•ef/1 + 1/e•df/1+1/f•de/1>1•d/1+1•e/1+1•f/1, oder?
Dann wären wir doch fertig… Aber ich denke mal, man muss dann nach deiner Überlegung mal def rechnen, da ja dann auch ef/d+df/e+de/f>f+d+e. Meintest du das?
  ─   fibonacc i 12.04.2023 um 14:34

Ja genau sorry, war gestern ein wenig spät, habe zu wenig überlegt aber ja du müsstest bei mir mit $def$ multiplizieren. Aber dein weg stimmt natürlich auch.   ─   karate 12.04.2023 um 14:49

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Moin,

ein anderer Ansatz ist es, zweimal die AM-GM Ungleiichung anzuwenden. Zuerst die Nenner loswerden und dann auf $$e^2d^2+e^2f^2+d^2f^2$$anwenden. Kommst du damit weiter?

LG
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