Gleichung nach x auflösen (Grundlagen Oberstufe/Uni)

Erste Frage Aufrufe: 735     Aktiv: 02.03.2020 um 17:53
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\(\text{Guten Abend, ich benötige Hilfe beim nach "x" auflösen des folgenden Terms:}\)

 

\( (2x-2a+b)(2x-2a-b)=4a(a+b)\text{  Man setze 2x}-2a=u  \)

 

\(\text{Lösung =}x_{1}=\frac{4a+b}{2},x_{2}=\frac{-b}{2}\) 

\(\text{Das Problem habe ich aus einem Übungsbuch, daher auch die Lösung. Ich verstehe einfach nicht, wie man auf diese Lösung kommt. Der Hinweis mit dem "u" erschließt sich mir auch nicht.}\)

 

\(\text{Mein bisheriger Stand: }\)\(x^2-2ax+\frac{4a^2-b^2}{4}=a(a+b) \)

 

\(\text{Das:  }\) \(x-\frac{-b^2}{4}=2a+\text{b ist Quatsch oder?}\) 

 

\(\text{Was nun?}\)

\(\text{Vielen Dank für eure Hilfe!!}\)

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Punkte: 12

 
Hallo, ist mir heute echt zu spät ums durchzurechnen. Ich kann Dir aber den Hinweis geben, dass Du 2x-2a durch u substituierst. Dann hast Du (u+b) * (u –b). Riecht nach 3tem Binom. Weiter könnte man aus 2x-2a=u noch a= x-u/2 machen und einsetzen. Vielleicht hilft’s? Gruß jobe   ─   jobe 01.03.2020 um 21:43
Du kannst beide Klammern auch einfach ausmultiplizieren und am Ende die Mitternachtsformel anwenden. Wird halt etwas unübersichtlich, aber machbar ist es. Die Substitution ist zwar elegant, hätte ich aber auch nicht gesehen.   ─   gardylulz 01.03.2020 um 22:05
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\( (2x-2a+b)(2x-2a-b)=4a(a+b)\)

Mit \(2x-2a=u\) ergibt sich

\((u+b)*(u-b) = 4a(a+b)\)

Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert ergibt sich daraus

\((u+b)*(u-b) = 4a^2+4ab\)

Durch quadratische Ergänzung der rechten Seite erhält man

\((u+b)*(u-b) = 4a^2+4ab+b^2-b^2\)

Wenn man jetzt die linke Seite ausmultipliziert erhält man

\(u^2+ub-ub-b^2= 4a^2+4ab+b^2-b^2\)

Zwei \(b^2\) und alle \(ub\) verschwinden jetzt durch vereinfachen rechts und links

\(u^2= 4a^2+4ab+b^2\)

Durch anwenden der binomischen Formel erhält man

\(u^2= (2a+b)^2\)

Jetzt noch die Wurzel auf beiden Seiten ziehen

\(u= \pm(2a+b)\)

Ab hier betrachten wir die beiden Möglichkeiten getrennt

\(u= 2a+b\) und \(u= -2a-b\)

Jetzt ersetzen wir u und erhalten

\(2x-2a= 2a+b\) und \(2x-2a= -2a-b\)

Jetzt addieren wir jeweils 2a und erhalten

\(2x= 4a+b\) und \(2x= -b\)

Und jetzt dividieren wir noch jeweils durch 2

\(x= \frac {4a+b } {2 }\) und \(x= \frac {-b} {2}\)

Fertig :)

 

 

 

 

 

 

 

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Lehrer/Professor, Punkte: 45

 
Dankeschön! (Auch an alle Kommentatoren) Unglaublich, wie schnell die Antworten kamen. So macht das alles einen Sinn. Die quadratische Ergänzung kannte ich nicht. Ist ja ein simpler und logischer Trick! Jetzt muss ich nur noch üben, wann es sinnvoll ist, sowas einzusetzen.Cool.
  ─   anonym2d7d2 02.03.2020 um 17:53

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