GS aufstellen und fehlende Parameter

Aufrufe: 344     Aktiv: 05.02.2021 um 21:42
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v(t) = a*t^3 + b*t^2 + c*t + d

Zur Zeit t= 20 s liegt die maximale Geschwindigkeit bei 20 m/s. 
Zur Zeit t=0 s ist die Geschwindigkeit null. 
Zur Zeit t= 10 s ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit am Größten. 

-> Erstellen Sie das Gleichungssystem zur Berechnung der Paramter a, b, c, d. 
-> Berechnen Sie den Parameter d. 

Ich hätte folgendes Gleichungssystem aufgestellt. 
I: a*20^3 + b*20^2 + c*20 + 1 = 20
II: a*0^3 + b*0^2 + c*0 + 1 = 0
III: ??
Änderungsrate heißt ja Steigung, also ich nehme an, dass ich die Grundfunktion ableiten muss. 

Bitte um eure Hilfe, danke.
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Moin Iglus.
Die Idee zur Änderungsrate ist garnicht so verkehrt. Diese ist aber an der gegebenen Stelle am größten, du hast dort also ein Maximum der Ableitung. Das ist nicht anderes als ein Wendepunkt.
Außerdem brauchst du auch noch eine vierte Gleichung. Die bekommst du wenn du dir überlegst, was es im Bezug auf die Ableitung bedeutet, dass die Geschwindigkeit bei \(t=20\) maximal ist.

Grüße
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Es muss in deiner zweiten Gleichung übrigens \(...+d=0\) und nicht \(...+1=0\) heißen ;)   ─   1+2=3 03.02.2021 um 23:28
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Warum bei der zweiten + d und bei der ersten Gleichung + 1?

Danke & LG   ─   iglus1432 03.02.2021 um 23:31
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Da natürlich auch, habe ich vollkommen übersehen! Du hast \(d\) ja noch garnicht bestimmt, wie @cauchy schon richtig angemerkt hatte. Deshalb darfst du dafür nichts einsetzen.   ─   1+2=3 03.02.2021 um 23:32
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Alles klar, also muss ich für die dritte Gleichung die Grundfunktion zwei mal ableiten und auf 0 setzen, oder?
Beim vierten komm ich nicht drauf. Gehts da um die Steigung im Hochpunkt (=0)?
   ─   iglus1432 03.02.2021 um 23:42
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Ja genau, die zweite Ableitung ist für eine Wendestelle \(0\).
Auch die Idee mit dem Hochpunkt stimmt, hier ist die erste Ableitung \(0\). :)   ─   1+2=3 03.02.2021 um 23:43
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Die Grundfunktion zwei mal abgeleitet ergibt ja: v´´(t) = 6at + 2b
Wenn ich dann auf 0 setze komme ich auf -3 beim Wendepunkt?
Und für die vierte Gleichung darf ich dann wieder 0 einsetzen?

   ─   iglus1432 04.02.2021 um 00:00
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Bitte nochmal um Hilfe :) @1+2=3 @cauchy   ─   iglus1432 04.02.2021 um 18:16
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Sorry, ich habe garkeine Benachrichtigung bekommen, dass du gestern kommentiert hast....
Wie kommst du von \(0=6at+2b\) auf \(t=-3\)?   ─   1+2=3 04.02.2021 um 18:19
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Danke.
Die Ableitung muss ich ja jetzt nach t auflösen denke ich? Wie mache ich das?   ─   iglus1432 04.02.2021 um 18:24
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Nein, das braucsht du nicht. Du kennst ja die Stelle \(t\), an der die Wendestelle vorliegt. Das musst du jetzt für \(t\) einsetzen.   ─   1+2=3 04.02.2021 um 18:32
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Die Wendestelle liegt bei 0, richtig?
Also in die zweite Ableitung 0 für t einsetzen oder in die Grundfunktion?   ─   iglus1432 04.02.2021 um 18:37
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Die Wendestelle liegt bei \(t=20\). Bei \(t=0\) ist doch die Geschwindigkeit \(0\).
Du musst das schon in die zweite Ableitung einsetzen, denn nur so erhälst du eine neue Gleichung.   ─   1+2=3 04.02.2021 um 18:52
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1: a*20^3 + b*20^2 + c*20 + d = 20
2: a*0^3 + b*0^2 + c*0 + d = 0
3: 3*a*20^2 + 2*b*20 + c = 0
4: 6*a*10 + 2*b = 0

Hab mir jetzt noch ein Video zur Bedeutung von Wende- bzw. Extremstellen angesehen und hab es hoffentlich verstanden.

Wie komm ich jetzt noch auf den Parameter d? d steht ja für den y-Achsenabschnitt, oder?   ─   iglus1432 04.02.2021 um 22:28
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Ahh, also 0.
Aber warum ausgerechnet die zweite Gleichung?   ─   iglus1432 04.02.2021 um 22:44
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Was meinst du mit "0"? Welchen Parameter konntest du so direkt bestimmen?   ─   1+2=3 04.02.2021 um 22:50
Die Lösung der zweiten Gleichung ist ja 0, oder? Bzw. der y-Wert.   ─   iglus1432 04.02.2021 um 23:14
Ja, also es bleibt \(d=0\) übrig. Meinst du das?   ─   1+2=3 04.02.2021 um 23:17
Ja, genau.   ─   iglus1432 05.02.2021 um 21:42

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Ja, es kann bei solchen Aufgaben vorkommen, dass man die Funktion einmal oder sogar zweimal ableiten muss, je nach dem, was genau die Information bedeutet. Größte Änderungsrate bedeutet hier aber Wendestelle, du brauchst also die zweite Ableitung.

Zu deinen anderen Gleichungen: Warum setzt du für \(d=1\)? Schreibe dort bitte \(d\) hin. Du kennst den Parameter ja noch nicht.

Die Aufgabe ist aber irgendwie seltsam, denn aus der zweiten Bedingung folgt sofort, dass \(d=0\) ist.
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Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.