Zu a) Für den Nachweis der Lösung betrachte die Grenzwerte am Rand des Intervalls, den Zwischenwertsatz und strenge Monotonie der Funktion \(f(x)=x-\tan x\).

Für das andere hängt es davon ab, was Ihr in der Lehrveranstaltung dazu gemacht habt. Was hast Du da gefunden?

Um zu zeigen, dass genau eine Lösung existiert, untersuche die Funktion \(x\mapsto \tan x-x\). Verwende für die Existenz einer Lösung den Zwischenwertsatz und für die Eindeutigkeit strikte Monotonie. Zur Konvergenz der Folge: Die Folge ist monoton fallend und von unten beschränkt, also konvergent. Für den Grenzwert \(x\) muss gelten \(x=k\pi+\arctan(x)\). Überprüfe, dass \(x\) im richtigen Intervall liegt und Lösung der gegebenen Gleichung ist.
Für die (b): Was hier das einfachste Vorgehen ist, hängt stark davon ab, was in deiner Vorlesung dazu gemacht wurde. Ich gebe dir mal ein Vorgehen, das minimale Vorkenntnisse benötigt: Verwende die Folge aus (a). Zeige mithilfe des Mittelwertsatzes eine Aussage der Form \(|x_{n+1}-x_n|\leq\frac1C|x_n-x_{n-1}|\) für ein geeignetes \(C\). Daraus folgt mit Induktion \(|x_{n+1}-x_n|\leq\frac1{C^n}|x_1-x_0|\leq\frac2{C^n}\) sowie $$|x-x_n|=\left|\sum_{k=n}^\infty x_{k+1}-x_k\right|\leq\sum_{k=n}^\infty|x_{k+1}-x_k|=\sum_{k=n}^\infty\frac1C^{k-n}|x_{n+1}-x_n|\leq\frac 2{C^{n-1}(C-1)}$$. Finde damit heraus, wie groß dein \(n\) sein muss, damit \(|x-x_n|<10^{-6}\) und berechne dieses \(x_n\) mithilfe der Rekursionsvorschrift.