Wie Löse ich diese Aufgabe? Normalverteilung

Erste Frage Aufrufe: 144     Aktiv: 22.01.2024 um 20:20

0
Die Kapazität eines in großer Stückzahl hergestellten
Kondensators kann als eine normalverteilte
Zufallsvariable angesehen werden. Mit welchem
Ausschussanteil ist zu rechnen, wenn die Kapazität
höchstens um
a) 5%,
b) 10%
vom Sollwert (Mittelwert) 𝑚 = 90𝜇𝐹 abweichen darf
und die Standardabweichung 𝜎 = 1𝜇𝐹 beträgt?

Ein Ansatz wäre hilfreich.
Danke im voraus.

gefragt

Punkte: 12

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Bei diesem Aufgabentyp muss man immer Abweichungen in Standardabweichungen umrechnen.

Zum Aufgabenteil a).
5% von \(90 \,\mu F\) sind \(4,\!5 \, \mu F\). Das ist die maximal erlaubte Abweichung
Diese absolute Abweichung muss man dann in Standardabweichungen umrechnen. Dazu muss man diesen Wert durch die Standardabweichung von \(1 \, \mu F\) teilen:
  \(t = 4,\!5 \, \mu F/1 \mu F = 4,\!5\).
Also: Die maximal erlaubte Abweichung beträgt 4,5 Standardabweichungen.
Nun gucke ich in meine Standard-Normalverteilungs-Tabelle nach. Dort steht: \(\Phi(4,\!5)=0,999966\).

Achtung: Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kapazität kleiner gleich Sollwert + 4,5 Standardabweichungen ist.
Gefragt war aber, dass die Kapazität und um mehr 4,5 Standardabweichungen vom Sollwert abweicht.
Also muss man noch ein bisschen rechnen:

Wahrscheinlichkeit, dass die Kapazität größer Sollwert + 4,5 Standardabweichungen ist, ist 1-0,999966 = 0,000034 (Gegenereignis).

Da die Normalverteilung symmetrisch ist, ist diese 0,000034 auch die Wahrscheinlichkeit, dass die Kapazität kleiner Sollwert - 4,5 Standardabweichungen.

Dann ist Wahrscheinlichkeit, dass die Kapazität mehr als 4,5 Standardabweichungen vom dem Sollwert abweicht, gleich \(2\cdot 0,\!000034= 0,\!000068\).

So, und zum Abschluss musst Du das noch in % umrechnen!

b) geht genauso. Hier allerdings versagen meine Normalverteilungstabellen, der gesuchte Wert steht nicht drin. Vermutlich hast Du Tabellen o.ä., wo dieser Wert drin steht. Das Ergebnis ist hier jedenfalls winzig.


Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 2.08K

 

Dankeschön.   ─   anonym431d5 22.01.2024 um 20:20

Kommentar schreiben