Mengen visualisieren, Normen

Aufrufe: 147     Aktiv: 18.05.2022 um 21:50

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Für eine feste Norm II*II auf R^2 und reelle Werte r, x0, y0 € R definieren wir:
* Br (xo, yo):= ((x,y) € R^2: II(xo-x, yo-y)II< r)
* Sr (xo, yo):= ((x,y)  R^2: II(xo-x, yo-y)II=r)
* Dr (xo, yo):= ((x,y) € R^2: II(xo-x, yo-y)II<=r)

a) Visualisieren Sie mit geeigneten Parametern die obigen Mengen jeweils für die Euklidische Norm und die Maximumsnorm. Erklären Sie hierbei auch die Bedeutun der Parameter r, xo und yo.

b) Skizzieren Sie D2(1,0) ohne (S1(2,0) U B1(0,0)) bezüglich der Euklidischen Norm.

c) Skizzieren Sie (D1 (0,0) geschnitten B1/2 (0,1)) ohne S1/4 (0,1) bezüglich der Maximumsnorm.

Ich weiß leider gar nicht, was zu tun ist, bzw. was unter der Aufgabenstellung zu verstehen ist. Kann jemand helfen?
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Punkte: 14

 

Weißt Du denn, wie man die Def. der obigen Mengen liest? Wie denn (als Beispiel die erste Def. reicht erstmal)?   ─   mikn 18.05.2022 um 18:57

Nicht so richtig, nein...   ─   user75a2d9 18.05.2022 um 19:54

Ist hier https://www.mathe-online.at/mathint/mengen/i.html ausführlich erklärt, ab (6).   ─   mikn 18.05.2022 um 20:45

Ja, doch, das weiß ich. Ich weiß eher nicht, was dann xo-x und yo-y ist. Was ist dann bei xo und was ist mein x? Und wofür steht der r-Index unten am B?   ─   user75a2d9 18.05.2022 um 20:58

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Wo kommt denn $r$ in der Menge vor?

Also es ist mir echt ein Rätsel, warum mathematische Notationen nie verstanden werden. Das wird doch alles in den Vorlesungen erklärt... Und wenn das unklar ist, schaut man mal in die Unterlagen rein, ansonsten sieht es für das Studium düster aus. Sehr düster...
  ─   cauchy 18.05.2022 um 21:03

Vielen Dank, cauchy, das hilft auf jeden Fall weiter. Manches muss man halt erst lernen, bevor man es kann.   ─   user75a2d9 18.05.2022 um 21:26

Das ist schon klar. Man lernt es aber, indem man sich auch mit den Unterlagen beschäftigt. Dort steht immer alles drin. Deswegen verstehe ich diese enormen Schwierigkeiten nie. Zumindest was das Verständnis einfacher Notationen angeht.   ─   cauchy 18.05.2022 um 21:36

Der wesentliche Sinn des Studiums ist nicht das Lernen von Formeln, die später kein Mensch mehr braucht, sondern das selbständige Erarbeiten eines neuen Themas, nach einführenden Erklärungen in der Vorlesung, dann selbst ausprobieren, nachlesen usw.. Daher möchten auch die meisten Helfer diesen Lernprozess nicht unterlaufen, indem sie Dir die Begriffe auflisten, die in Deinen Unterlagen stehen und dort darauf warten von Dir gelesen und verstanden zu werden.   ─   mikn 18.05.2022 um 21:43
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1 Antwort
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Die Mengen unterscheiden sich ja nur in einer Kleinigkeit. $\|(x0-x,y0-y)\|= \|(x0,y0)-(x,y)\|$ und Norm einer Differenz ist der Abstand der beiden genannten Punkte.
Wie liest sich also die erste Zeile? Vollständig bitte.
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Dann ist B die Menge aller Punkte (x,y) Element R^2, für die gilt, dass der Abstand der beiden Punkte (x,y) und (xo, yo) kleiner als r ist?   ─   user75a2d9 18.05.2022 um 21:12

Sehr gut, genau so ist es. Wie sieht diese Menge im R^2 (x-y-Ebene) dann anschaulich aus?   ─   mikn 18.05.2022 um 21:18

Wenn ich davon ausgehe, dass r das übliche r, also ein Radius ist, ist (xo, yo) vermutlich der Mittelpunkt eines Kreises und alle anderen Punkte (x,y) sind die weiteren Punkte innerhalb des Kreises?

Dann wäre entsprechend Sr der Kreisumfang und Dr das Innere des Kreises sowie der Umfang.
  ─   user75a2d9 18.05.2022 um 21:31

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Das solltest Du nicht nur vermuten. Mach erst weiter, wenn Du davon überzeugt bist.
Br ist das Innere, "Kreisumfang" sagt man hier nicht ("Umfang" ist eine Zahl, keine Menge), man spricht hier von "Kreis" (das ist im engeren Sinne eben die Kreislinie), das andere nennt man Kreisscheibe. Bezeichnung aus dem englischen: ball, sphere, disc.
Übrigens, ein Kreis im engeren Sinne (also rund) ist es nur mit der euklidischen Norm. Bei anderen Normen hat Sr eine andere Form. Das überleg Dir mal selbst (einfach Werte ausprobieren und Abstände mit der max-Norm betrachten).
  ─   mikn 18.05.2022 um 21:38

Vielen Dank, das hat mir sehr weitergeholfen! Ich denke, jetzt komme ich weiter!   ─   user75a2d9 18.05.2022 um 21:43

Gut. Sonst melde Dich nochmal.   ─   mikn 18.05.2022 um 21:50

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