Im blau geschriebenen wird Grenzwert und Folgenglied munter durcheinander geworfen. Dort steht
$\lim a_n = a_n = \lim a_n$ (Muster). Das geht nicht.
Am einfachsten und sichersten ist das Muster: $a_n = \text{umformen, falls nötig} \to \text{Grenzwert}$.
Falls gefordert, kann man als Antwort nochmal extra $\lim a_n =\text{Grenzwert}$ schreiben.
Merke: $\lim a_n$ darf man erst schreiben, wenn die Konvergenz geklärt ist. Das ist aber üblicherweise Teil der Aufgabe.

Was das Bild mit der Frage zu tun hat, ist mir unklar. Ich vermute mal, du meinst folgendes

$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}=\dots $

bzw.

$\lim_{n\rightarrow \infty} (\frac{1}{n})=\dots$

Es ist sinnvoll, dann Klammern zu setzen, wenn der Ausdruck im Limes mehr als einen Summanden enthält, damit eindeutig ist, dass sich der Limes auf den gesamten Ausdruck und nicht nur auf den ersten Summanden bezieht, also 

$\lim_{n\rightarrow \infty} (\frac{1}{n}+n^2)=\dots$

statt

$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}+n^2=\dots$