Cauchy Produktformel - Faktor b_k bestimmen

Aufrufe: 178     Aktiv: 02.05.2023 um 20:20

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Mein Ziel war die Untersuchung dieser speziellen Binomialreihe:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{3}}{n}(-x^{3n}) \phantom{333} |x|<1 \)

Es ist auffällig, dass es sich hier um ein Produkt handelt und da kam mir die Idee der Cauchy Produktformel.

Ich hatte zwei Ansätze:

1. es sollte versucht werden, durch Umformen einen Term \( \dfrac{x^{n}}{n!} \) zu erhalten, also etwa sowas

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{3}}{n}(-x^{3n}) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)(\frac{1}{3}-2)...(\frac{1}{3}-n+1))(-x^{2n})( \dfrac{x^{n}}{n!}) \)

also letztlich sollte ein Produkt \( ( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n!})*(\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_k) \) entstehen,

wobei die Aufgabe darin besteht, das \( b_k \) zu ermitteln.

2. es sollte der Binomialkoeffizient \( \binom{\frac{1}{3}}{n} \) als ein Faktor verwendet werden, also könnte man z.B. einfach mit

\( a_k = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{3}}{n} = \sqrt[3]{2} \)

ein Produkt \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{3}}{n}(-x^{3n}) = \sqrt[3]{2} * (\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_k) \) erhalten, wobei dann wiederum das \( b_k \) zu ermitteln wäre.

Im ersten Fall sehe ich jedoch Konvergenzprobleme mit dem ersten Faktor.
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1 Antwort
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Was heißt denn "untersuchen"? Das ist keine seriöse Aufgabenstellung. Wie lautet die Aufgabenstellung wörtlich im Original (nichts weglassen, am besten Foto).
Wenn Ihr die binomische Reihe thematisiert habt, ist ja die Konvergenz und der Wert der Reihe klar. Also, was bleibt noch?
Zu Deinen Ansätzen: Der erste Faktor in Deinem ersten Ansatz ist das mit Abstand harmloseste an allen auftretenden Ausdrücken.
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