Winkel herleiten

Aufrufe: 581     Aktiv: 26.01.2021 um 20:50

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Hallo,

wie kann ich mir denn t z.B bei  arccos (-1/2)=t  ohne Taschenrechner herleiten?

Vielen Dank und Gruß

 

 

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Student, Punkte: 86

 
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die  Werte für die einfache sin und cos Kurve muss man lernen, "null" oder "eins"-Stellen mit Hilfe vom Einheitskreis geht noch schnell, man kann auch arcsin (1/2) = pi/6 noch mit Hilfe von z.B. gleichseitigen Dreiecken herleiten, wäre aber zu aufwändig jedes Mal. 
Also schnell Kurve oder Einheitskreis skizzieren.

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selbstständig, Punkte: 11.89K

 

oder wolltest du genauer wissen, wie man pi/3, pi/6 oder pi/2 jeweils mit sin und cos berechnet (das wäre ja dann die Herleitung für deine Frage) und geht auch genau nur für diese (Winkel 60, 30, 45 Grad, für Winkel > 90 Grad dann über Einheitskreis)   ─   monimust 26.01.2021 um 19:32

Nein ich muss halt jedes mal nur herausfinden was ich für ein Pi wert dabei habe. Wenn der Einheitskreis vor mir liegt ist ja kein Problem. Ich darf es nur nicht benutzen, außer ich muss mir eine Eselsbrücke dabei bilden.
  ─   symrna35 26.01.2021 um 20:36

so viele Werte sind das doch gar nicht, die muss man eben auswendig lernen, die Tabelle in der Antwort oben ist doch auch so aufgebaut, dass man sie wunderbar lernen kann   ─   monimust 26.01.2021 um 20:41

Alles klar! Ich lerne den Einheitskreis einfach auswendig :)
Vielen Dank und schönen Abend noch
  ─   symrna35 26.01.2021 um 20:50

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Sei  \(w:= \mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{\pi}{3}}=\cos\left(\frac\pi3\right)+\mathrm{i}\sin\left(\frac\pi3\right)\). Dann gilt \(w^3 = \mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi}= -1\), also \begin{multline*} 0 = w^3 + 1= (w+1)(w^2-w+1) =(w+1)\left(w-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(w-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right). \end{multline*} Ferner ist \(\mathrm{Im}\, w = \sin \frac{\pi}{3} >0\).  In der Gleichung sind also auf der rechten Seite die ersten beiden Faktoren nicht Null. Somit muss der letzte Faktor verschwinden, d.h.  es gilt \(w= \frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2} \).  Dies liefert \[\cos\left(\frac\pi3\right)=\frac12\qquad\sin\left(\frac\pi3\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.\]  Mit einem Additionstheorem folgt \[\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(\pi-\frac\pi3\right)=\cos\pi\cos\left(\frac\pi3\right)+\sin\pi\sin\left(\frac\pi3\right)=-\cos\left(\frac\pi3\right)=-\frac12.\]

Ist damit Deine Frage beantwortet?

Für diese Werte gibt es auch eine einfache Merktabelle:

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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 

Vorab vielen Dank für die ausführliche Erklärung und die Mühe.
Bin gerade etwas mehr verwirrt als vorher. Vielleicht habe ich auch die Frage etwas falsch dargestellt.
Also konkret versuche ich an einer Kurve die Schnittpunkte mit der y-Achse zu berechnen. Meine Gleichung lautet (x=1+2cost , y=-2+2sint)
Da ich die Schnittpunkte an der y-Achse suche, muss x=0 sein.
Habe X=0 gesetzt und jetzt habe ich folgende Gleichung 0=1+2cost
Wie könnte ich t berechnen?
  ─   symrna35 26.01.2021 um 19:20

Aus \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac12\) folgt doch \(t=\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}\).   ─   slanack 26.01.2021 um 19:36

Genau das ist halt mein Problem.
Ich darf weder eine Tabelle noch Taschenrechner in der Klausur benutzen. Deshalb versuche ich den Zusammenhang zu verstehen wie ich am schnellsten und unkompliziert zu den jeweiligen Pi Werten komme
  ─   symrna35 26.01.2021 um 20:35

Die Tabelle ist zum auswendig lernen gedacht. In der Klausur schreibst Du sie Dir dann einfach erstmal hin, und kannst sie dann benutzen. Die Additionstheoreme musst Du ja auch auswendig wissen.   ─   slanack 26.01.2021 um 20:43

Und der Hinweis mit dem Einheitskreis von monimust ist auch gut. Natürlich darfst du in der Klausur alles hinkritzeln, was Dir hilft. Mir helfen die Graphen der Winkelfunktionen, die zeichne ich mir immer auf. Man muss sie halt mal gelernt haben.   ─   slanack 26.01.2021 um 20:47

Ok ich glaube es ist am einfachsten Einheitskreis auswendig zu lernen. Die Werte sind ja sinnvoll aufgebaut,. (1-2-3-3-2-1) etc.
Vielen Dank! Schönen Abend noch
  ─   symrna35 26.01.2021 um 20:49

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