Tangenten gleichung bilden

Aufrufe: 1069     Aktiv: 22.02.2020 um 21:41
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Moin Leute,

hänge grade an der aufgrabe 

Und zwar soll ich anhand der impliziten funktion 3x^2 -1/2 *sin (y) mit dem Punkt P(1/2;pi/6) 

eine Tangenten gleichung aufstellen. wenn ich es richtig im kopf habe y=m*x*b oder?

Für m benötigt man ja aufjedenfall die erste ableitung welche ich schon gebildet habe wenn richtig ? 

y´=-6x*1/2*cos(y) 

nun müsste man ja theoretisch nur x einsetzten und auflösen nun stellt sich mir aber die frage was ich mit dem y machen soll?

Danke für eure hilfe 

LG

 

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\(3x^2-0.5\sin(y)=0.5\)

\(6x^2-\sin(y)=1\)

\(6x^2=1+\sin(y)\)

\(6x^2-1=\sin(y)\)

\(\arcsin(6x^2-1)=y\)

Jetzt kannst du die Tangente bestimmen. Dazu gibt es wei Möglichkeiten.

1. Du nutzt die allgemeine Tangentengleichung:

Für eine Tangente \(t\) an der Stelle \(a\) einer Funktion \(f\) gilt:

\(t_a(x)=f'(a)*(x-a)+f(a)\)

Jetzt bildest du die Ableitung:

\(f(x)=\arcsin(6x^2-1)\)

\(f'(x)=\frac{12x}{\sqrt{1-(6x^2-1)^2}}\)

Mit \(a=0.5\) gilt dann für deine Tangente:

\(t_{0.5}(x)=\frac{12*0.5}{\sqrt{1-(6*0.5^2-1)^2}}*(x-0.5)+\frac{\pi}{6}=6.93(x-0.5)+\frac{\pi}{6}=6.93x-2.94\)

2. Herleitung über

\(t(x)=mx+b\)

\(m=f'(a)=6.93\)

\(t(a)=f(a)\)

\(6.93*0.5+b=\frac{\pi}{6}~~\Rightarrow~~~b=-2.94\)

\(t(x)=6.93x-2.94\)

 

 

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Supper viele dank.
Schreibe in knapp zweich wochen mathe 1 und grade echt hart am käpfen mit ein paar verständnis problemen.
Aber muss jetzt auch erst mal los arbeit schreibe dir dann heute abend oder Morgen noch mal ob ich alles geschnallt habe.
Vielen dank aufjedenfall für deine Supper hilfe :D   ─   pizzacorgie 22.02.2020 um 13:22
ok top grade noch mal durchgerechnet und bin auf das gleiche gekommen vielen danl für deine hilfe :D
frage mich bloß wie ich sowas nacher in der klausur ohne taschenrechner machen soll dürfen nämlich keinen verwenden o.O
Aber noch mal danke für die Hilfe war wie ein stein im Weg der krams endlich kann ich weiter machen :D   ─   pizzacorgie 22.02.2020 um 21:41

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Prinzipiell kannst du ja bei Funktionen mit zwei Variablen eine Tangentialebene bilden.

\(t(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)*(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)*(y-y_0)+f(x_0,y_0)\)

Wenn du aber eine Tangete berechnen möchtest, kommt es drauf an, welche du suchst.

Du könntest zum Beispiel die Tangente für feste \(y\)-Werte \(y_0\) oder für feste \(x\)-Werte \(x_0\) bestimmen.

\(t:\left(\begin{array}{c}x_0\\y_0\\f(x_0,y_0) \end{array}\right)+s*\left(\begin{array}{c}1\\0\\f_x(x_0)\end{array}\right)\)

\(t:\left(\begin{array}{c}x_0\\y_0\\f(x_0,y_0) \end{array}\right)+s*\left(\begin{array}{c}0\\1\\f_y(x_0)\end{array}\right)\)

Hier eine Veranschaulichung dazu: https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/biomath/stichw/tangent.htm

Hier die zwei oben genannten Tangenten:

Und hier dazu die Tangentialebene:

 

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Moin
danke für deine hilfe.
Steige da bloß immer noch nicht wirklich durch muss ich dann einmal nach x und einmal nach y ableiten? Welche werte benbutzte ich dann dafür? nach x ableiten dann werte von y einsetzen und umgekehrt?
  ─   pizzacorgie 22.02.2020 um 11:34
Du leitest nach einer Variablen ab, indem du alle Variablen, nach denen nicht abgleitet wird, als konstant betrachtest. Du rechnest also mit ihnen, wie mit einer normalen Konstanten Zahl.   ─   vetox 22.02.2020 um 12:19
hast du da vlt ein bsp für mich habe glaube ich grade echt ein bret vorm kopf   ─   pizzacorgie 22.02.2020 um 12:20
\(f(x,y)=x^2+y^2x-3x\) und somit \(f_x(x,y)=2x+y^2-3\) und \(f_y(x,y)=2yx\) und \(f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=2y\)   ─   vetox 22.02.2020 um 12:21
Hmm ok verstehe
aber inwiefern könnte man daraus jetzt eine tangente bilden man hat da ja immer noch einen unbekanten wert.   ─   pizzacorgie 22.02.2020 um 12:25
Und zwar?   ─   vetox 22.02.2020 um 12:25
naja y oder nicht?
die grundform zum erechenen ist doch y=m*x+b oder?
und wenn ich da jetzt die werte einsetzte kommt da doch nur kauderwelsch raus oder mach ich was falsch o.O   ─   pizzacorgie 22.02.2020 um 12:30
Diese Gleichung kannst du nicht anwenden, die ist für Tangenten im zweidimensionalen.   ─   vetox 22.02.2020 um 12:31
ahhhh dann ist da warscheinlich mein fehler.
Äh aber mehr als 2 dimensional machen wir auch nicht. Oder ist implizit dreidimensional?
   ─   pizzacorgie 22.02.2020 um 12:35
hab mal ein bild reingeklatscht mit der vorherigen beschreibung   ─   pizzacorgie 22.02.2020 um 12:38
Achso, dann geht das natürlich doch. Das hatte ich überlesen. Moment
   ─   vetox 22.02.2020 um 12:41
haha ok geil dank dir dann bin ich mal gespannt was ich verkackt habe xD   ─   pizzacorgie 22.02.2020 um 12:54
Du hättest vielleicht das \(=0.5\) dazu schreiben sollen, das ist ja gar keine Funktion mit zwei Variablen xD   ─   vetox 22.02.2020 um 12:55
ups stimmt vergessen ^^
jo deswegen war ich ein wenig verwirrt mit deinen vorgehensweisen :D   ─   pizzacorgie 22.02.2020 um 12:56
habe mir aber schon gedacht das ich da was äh vergessen habe drum noch mal das bild :D   ─   pizzacorgie 22.02.2020 um 12:58
Du musst die Funktion erst nach \(y\) umstellen. Dann hats du deine gewöhnliche Form. Hier kannst du eien Tangente konstruieren. Ich schreibe dir eine neue Antwort   ─   vetox 22.02.2020 um 13:01
Top vielen dank ;D
   ─   pizzacorgie 22.02.2020 um 13:08

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