Hallo, habe ein kleines Problem bei der Ableitung von x^sin(x)

Aufrufe: 453     Aktiv: 05.01.2021 um 12:28
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Hallo, 

Muss die Funktion x^sin(x) ableiten. Ich habe das Ergebnis, weiß aber nicht, warum am Ende die x^sin(x) noch da sind. In der Klammer ist ja nur die Produktregel. Eine Erklärung wäre sehr hilfreich. 
Danke!

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Schreibe die Funktion um mit Hilfe des "\(e^{\ln}\)-Tricks" und des dritten Logarithmengesetzes. Nicht einfach nur den \(\ln\) nehmen sondern:

\(x^{\sin(x)}=e^{\ln(x^{\sin(x)})}=e^{\sin(x)\cdot \ln(x)}\).

Nun kannst du mit Hilfe von Kettenregel und Produktregel die Funktion ableiten. 

Nach dem Ableiten kannst du den "\(e^{\ln (...)}\)-Trick" wieder rückwerts anwenden um die Ableitungsfunktion schöner darzustellen.

 

Hoffe das hilft dir weiter.

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Und das klappt weil e^ln(x) = x ist oder?   ─   anonym1d0d8 30.12.2020 um 16:33
Genau, es ist zwar auch \(x=\ln(e^x)\) aber mit der Identität \(x=e^{\ln(x)}\) erhältst du eine \(e\)-Funktion, welche sich ja beim Ableiten sehr bequem verhält. Lediglich durch den entstehenden Exponenten muss man beim Ableiten der inneren Funktion noch an die Produktregel denken.   ─   maqu 30.12.2020 um 16:36

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Hallo Zusammen, hätte noch einen Trick: mal die Gleichung komplett durchlogarithmieren. Dann steht da:

\(ln(y) = \sin(x)*ln(x)\)

Wenn wir nun ableiten gibt das:

\(\frac{1}{y}d_y = \cos(x)*ln(x) + \frac{\sin(x)}{x}\)

dann y nach rechts

\(d_y = \frac{d}{dx} = (\cos(x)*ln(x) + \frac{\sin(x)}{x})*y\)

y  war ja \(x^{\sin(x)}\)

Also gibt es am Ende

\(\frac{d}{dx} = x^{\sin(x)}*(\cos(x)*ln(x) + \frac{sin(x)}{x})\)

Die Variante fand ich manchmal angenehmer.

Sorry, habe meinen "Lesefehler" der Aufgabe erst jetzt bemerkt und korrigiert.

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