Eigenschaften von Relationen

Erste Frage Aufrufe: 212     Aktiv: 17.04.2022 um 12:09
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Wir haben eine Relation R auf der Menge A.
Man stelle mit R hoch i die folgende Eigenschaften da:

A) R ist symmetrisch.

Lösung: genau dann, wenn
R hoch -1 eine Teilmenge oder die gleiche Menge von R ist. Das liegt daran, dass hoch -1 das genaue Gegenteil von R hoch 0 ist. 
Das habe ich gelesen. Doch warum ist dies so? Gibt es eine Möglichkeit, sich das bildlich vorzustellen?

B) R ist transitiv.

Lösung: genau dann, wenn
R hoch 2 eine Teilmenge oder gleich R ist.
Dies ist der Fall, weil dies impliziert, dass R hoch 1 zu R hoch 0 in einer totalen Relation steht und R hoch 2 zu R hoch 1 ebenso in einer totalen Relation steht, oder?

C) R ist irreflexiv.

Lösung: Genau dann, wenn
R hoch 0 und R hoch 1 genau dann, wenn leere Menge; d.h. keine Überschneidungen.
Die Relation steht also nicht zu sich selber in Relation?
Wofür steht R hoch 0? Für die bloße Zahl 1 und falls ja, warum wird dies bei dem irreflexiven Beispiel angegeben?

Entschuldigt die vielen Fragen. Wenn jemand eine dieser vielen beantworten konnte, wäre ich sehr dankbar.

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Mache dir an einem einfachen Beispiel klar, was die Mengen $R^{0}$, $R^{-1}$ und $R^{2}$ überhaupt sind und warum daraus dann die entsprechende Eigenschaft folgt. Hier kann ein einfaches Beispiel helfen. Betrachte die Relation $R=\{(a,b),(a,c),(b,c),(b,d)\}$. Wie sehen die oben angegebenen Mengen aus? Es gilt übrigens nicht $R^0=1$.
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R⁰ = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}
R-¹ = {(b,a),(c,a),(c,d),(d,b)}
R² = {(a,c),(b,d)}

Sehen so die angepassten Mengen aus deiner Relation aus?

Danke, dass du dir die Zeit nimmst.
   ─   darius100 17.04.2022 um 11:42

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.