Z[i] := a + bi (Komplexe Zahlen)

Erste Frage Aufrufe: 434     Aktiv: 23.11.2021 um 15:48

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Moin. Ich soll zeigen, dass die Ganzen Zahlen Z[i] := a + bi mit a,b aus Ganzen Zahlen ein Integritätsring ist. 
Ich weiß aber nicht, wie ich mit dem ,,i" rechnen soll oder darf. 
Sonst kann ich einfach für a,b aus den Ganzen Zahlen sowas wie Assosiativität, kommutativität etc annehmen, weil die Ganzen Zahlen an sich diese eigenschaften erfüllen. Ich weiß aber nicht was ich mit dem i machen kann. Schließlich wird es ja auch in der Aufgabe nicht genauer definiert.

EDIT vom 23.11.2021 um 15:45:


Das ist die Aufgabe...
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Punkte: 129

 

Vergessen zu erwähnen: (Z[i], +, *) sind die Verknüpfungen (Addition und Multiplikation).   ─   user1312000 23.11.2021 um 10:52

Irgendjemand?   ─   user1312000 23.11.2021 um 13:03
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Man kann die Aufgabe lösen, ohne \(i\) zu kennen, nämlich einfach mit den Verknüpfungen. Wenn du diese Aufgabe bekommen hast, dann solltest du eigentlich auch die Verknüpfungen irgendwo bekommen haben. Also irgendwo sollte stehen, was \( (a+bi) + (c+di) \) ist und was \( (a+bi) \cdot (c+di) \) ist.
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Student, Punkte: 7.05K

 

Ansonsten müsstest du dir die komplexen Zahlen anschauen. \( i \) ist die imaginäre Einheit. Es gilt \( i^2 = -1 \).   ─   42 23.11.2021 um 15:19

Die Verknüpfungen sind einfach normale Addition und Multiplikation (steht in der Aufgabe explizit dazu).
Also darf ich theoretisch einfach schreiben, dass zb. (a + bi) + (c +di + e+fi) = (a + bi + c+di) + e+fi ist, weil a,b,c,d,e,f,i aus den Reellen Zahlen sind und dort assoziativität herrscht?
  ─   user1312000 23.11.2021 um 15:29

Also das kann irgendwie nicht sein. Wenn da steht, dass das die "normale" Addition und Multiplikation ist, dann sind damit die Verknüpfungen als komplexe Zahlen gemeint. Hier wird also vorausgesetzt, dass du die komplexen Zahlen kennst.   ─   42 23.11.2021 um 15:34

Wenn du die komplexen Zahlen kennst, dann sind Assoziativität und Kommutativität trivial. Dass neutrale Elemente und additive Inverse von \( \mathbb{C} \) vererbt werden, erfordert nur kurzes Nachrechnen. Die eigentliche Arbeit muss dann bei der Nullteilerfreiheit gemacht werden.   ─   42 23.11.2021 um 15:38

Ich hab mal die Aufgabe hinzugefügt. Über die Komplexen Zahlen haben wir bisher gelernt, dass i quadrat = -1 ist. Darüber hinaus echt nicht viel.   ─   user1312000 23.11.2021 um 15:48

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