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U1:= {(x  y  z) I 3x+7y-8z=0  x,y,zeR}   U2:={(x  y  z) I x+y+z=1   x,y,zeR}

U3:={(x  y  z) Ix*y*z=0   x,y,zeR}      4:={(x  y  z) I x^2+y^2=z^2   x,y,zeR}

Jetzt ist mir nicht klar, ob es genügt, bei allen 4 Beispielen jeweils eine Möglichkeit zu finden, die belegt, dass es sich nicht um einen Unterraum handelt. Also wie muss ich hier vorgehen
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Das unterstrichene war ein Tippfehler, der nichts zu sagen hat, den ich aber zu spät gesehen habe.   ─   atideva 11.04.2022 um 18:30
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1 Antwort
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Ja ein Gegenbeispiel reicht aus, das wird dir hier aber nicht immer gelingen.
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Jetzt ist es ja noch so, dass der Nullvektor enthalten sein muss, Bei U4 gehe ich davon aus, dass es sich hier um keine Unterraum handelt, weil 0^0=1 ist. Bei U2 bin ich auch der Meinung, dass es sich nicht um einen Unterraum handelt, weil ich hier ohne die Null auf die 1 komme. Ich bin mir aber überhaupt nicht sicher, ob das so richtig ist.   ─   atideva 11.04.2022 um 19:28

Deine Begründung zu $U_4$ ist falsch. Weiß auch nicht wie du auf $0^0$ kommst. Es ist $0^2 + 0^2 = 0^2$ für $(0,0,0) \in \mathbb R^3$ trivialerweise erfüllt. Deine Begründung zu $U_2$ klingt auch irgendwie falsch. Die $0$ ist nicht enthalten, aber "weil ich hier ohne die Null auf die eins komme" - was soll das heißen? Was du sagen willst: $x+y+z = 1$ ist für $(x,y,z) = (0,0,0)$ nicht erfüllt, also ist $(0,0,0) \not\in U_2$.   ─   zest 11.04.2022 um 19:56

Danke für die Antwort, daran habe ich gemerkt, dass mir die Übung fehlt. Ich kann also auch für alle drei Variablen dieselbe Zahl benützen, und wenn dabei durch die Funktionsvorschrift das Ergebnis stimmt und die 0 enthalten ist, dann ist es ein Unterraum. Ich hoffe diese Überlegung stimmt jetzt.   ─   atideva 11.04.2022 um 20:17

Nein, du nimmst den Nullvektor deines zugrundeliegenden Raums und prüft ob dieser die Definition erfüllt.   ─   zest 11.04.2022 um 20:20

verstehe ich das jetzt richtig, ich nehme also(0,0,0) und überprüfe ob das ergebnis passend ist. Dann dürfte U2 kein Untervektorraum sein. Ich habe jetzt auch noch eine Antwort von der Fernuni bekommen und da meinte jemand , wenn ich bei U4 den Schritt anwende, dass die Summe zweier Vektoren dieser Teilmenge wieder in U4 liegen muss, bekäme ich ein Gegenbeispiel, also U4 ist demnach kein Unterraum. Ich verstehe diese Ausführung allerdings nicht.   ─   atideva 12.04.2022 um 14:47

Nimm zwei Vektoren aus $U_4$, berechne die Summe und zeige, dass diese nicht in $U_4$ liegt. Du musst doch immer nur gucken, ob die Bedingung erfüllt ist. Es ist jedes Mal das gleiche Vorgehen.   ─   cauchy 12.04.2022 um 15:35

1^2+1^2 ist nicht gleich 1^2 , aber das mit dem Schauen ist manchmal leicht gesagt, wenn die Übung fehlt.   ─   atideva 12.04.2022 um 15:40

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Welche Vektoren hast du denn genommen? Ich denke, dass eher viel Verständnis fehlt als Übung, denn die Zahlen sind nun nicht kompliziert.   ─   cauchy 12.04.2022 um 15:53

Du musst dir halt die Vektorraum-Axiome ansehen. Ein Vektorraum $V$ ist eine additive Gruppe, d.h. $V$ ist stets abgeschlossen bzgl. Addition. Wenn also die Summe zweier Vektoren aus $U_4$ nicht in $U_4$ liegt, kann $U_4$ eben kein Vektorraum sein.   ─   zest 12.04.2022 um 17:32

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