Wenn ein Messfehler auftritt, so messen wir für den Durchmesser \(d\) und die Höhe \(h\):

\( d = 15 \cdot (1+ \epsilon) cm \) und \( h = 28 \cdot (1+ \epsilon) cm\).

\(\epsilon\) kann sowohl positiv, als auch negativ sein. Da beide Werte gleich genau sind, können wir das gleiche \(\epsilon\) verwenden.

Nun berechnen wir zunächst das Ergebnis des Volumens mit den exakten Werten:

\( V = \frac{1}{12} \cdot \pi \cdot 15^2 \cdot 28 = 525\pi \), also \(525\pi \, cm^3\)

Nun berechnen wir das Volumen mit den Werten, welche den Messfehler beinhalten (ich bezeichne das Volumen mit Messfehlern mit \(\tilde{V}\):

\( \tilde{V} = \frac{1}{12} \cdot \pi \cdot (15 \cdot (1+\epsilon))^2 \cdot 28 \cdot (1+\epsilon)\\ \phantom{V}= \frac{1}{12} \cdot \pi \cdot (15 + 15 \epsilon)^2 \cdot (28 + 28 \epsilon)\\ \phantom{V} = \frac{1}{12} \cdot \pi \cdot (225 + 450\epsilon + 225\epsilon^2) \cdot (28 + 28 \epsilon)\\ \phantom{V} = \frac{1}{12} \cdot \pi \cdot (6300 + 12600 \epsilon + 6300 \epsilon^2 + 6300\epsilon + 12600 \epsilon^2 + 6300 \epsilon^3)\\ \phantom{V} = \frac{1}{12} \cdot \pi \cdot (6300 \epsilon^3 + 18900\epsilon^2 + 18900 \epsilon + 6300)\\ \phantom{V}= \pi \cdot (525\epsilon^3 + 1575 \epsilon^2 + 1575\epsilon + 525)\\ \phantom{V}= 525\pi + (525\epsilon^3 + 1575 \epsilon^2 + 1575\epsilon) \cdot \pi\)

Dann ist der absolute Fehler aufgrund der Messfehler gegeben durch:

\( \lvert \tilde{V} - V \rvert = \lvert (525\epsilon^3 + 1575 \epsilon^2 + 1575\epsilon) \cdot \pi \rvert\)

Der absolute Fehler darf maximal 2% des Volumens betragen. 2% des Volumens sind:

\( \frac{2}{100} \cdot V = \frac{2}{100} \cdot 525\pi = \frac{21}{2}\pi\).

Damit ergibt sich also die zu erfüllende Ungleichung:

\( \phantom{\Leftrightarrow} \frac{21}{2}\pi > \lvert (525\epsilon^3 + 1575 \epsilon^2 + 1575\epsilon) \cdot \pi \rvert\\ \Leftrightarrow \frac{21}{2} > \lvert 525\epsilon^3 + 1575 \epsilon^2 + 1575\epsilon \rvert \)

Nun eine Fallunterscheidung:

Fall 1 \(\epsilon > 0 \): Der Betrag kann weggelassen werden und wir erhalten

\( \phantom{\Leftrightarrow}\frac{21}{2} > 525\epsilon^3 + 1575 \epsilon^2 + 1575\epsilon\\ \Leftrightarrow 0 >  525\epsilon^3 + 1575 \epsilon^2 + 1575\epsilon - \frac{21}{2}\).

Wir berechnen die Nullstellen der Gleichung:

\( \phantom{\Leftrightarrow} 0 = 525\epsilon^3 + 1575 \epsilon^2 + 1575\epsilon - \frac{21}{2} \\ \Leftrightarrow 0 = \epsilon^3 + 3\epsilon^2 + 3 \epsilon - \frac{1}{50}\)

Diese Funktion hat nur eine reelle Nullstelle bei \( /epsilon_{0} \approx 0,0066227 \).

Fall 2: \(\epsilon < 0\): Wir können mit der Dreiecksungleichung abschätzen

\( \lvert (525\epsilon^3 + 1575 \epsilon^2 + 1575\epsilon) \cdot \pi \rvert \leq 525 \cdot \lvert \epsilon \rvert^3 + 1575 \cdot \lvert \epsilon \rvert^2 + 1575 \lvert \epsilon \rvert \)

Wir erhalten also \( \lvert \epsilon \rvert = - \epsilon > 0 \). Wir befinden uns damit wieder im ersten Fall.

\( \Rightarrow \) Der Messfehler der beiden Größen \(d\) und \(h\) muss kleiner als \(0,66227\%\) sein, damit das Ergebnis des Volumens maximal \(2\%\) vom genauen Ergebnis abweicht.

Du kannst z.B. mal einen Messfehler von \(\epsilon = 0,66\%\) wählen und solltest einen absoluten Fehler von ungefähr \(1,9931\%\) erhalten. Damit bist du ganz knapp unterhalb der \(2\%\). Ein Indiz dafür, dass die durchgeführte Rechnung stimmt.