Differenzierbar in \((0,0)\) mit Ableitung \(D_{(0,0)}f\) (beachte, dass diese Ableitung eine lineare Abbildung ist!) heißt: \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\| f(x,y)-f(0,0)-D_{(0,0)}f(x,y)\|}{\|(x,y)\|} = 0\). Hier setzt man (weil man's vermutet) \(D_{(0,0)}f (x,y)=(0,0)^T\) und muss daher den Quotienten in der letzten Zeile betrachten. Vergiss das \(\epsilon\), und Du siehst, dass diese Eigenschaft in der letzten Zeile nachgewiesen ist: Weil im Grenzwert die rechte Seite (vergiss das \(\epsilon\)!) gegen 0 geht, tut es linke auch, fertig.

Jetzt mit \(\epsilon\): Unsere Behauptung \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} Q(x,y) = 0\) heißt natürlich, dass \(Q(x,y)\) stetig in \((0,0)\) ist. Wenn man das mit \(\epsilon\)-\(\delta\) nachweist, erhält man den Beweis mit \(\epsilon\). Der steht da etwas unsauber. Besser wäre: Sei \(\epsilon>0\), dann definieren wir \(\delta:=\epsilon\) usw.

Nun um zu zeigen das eine Funktion auf, in diesem Fall ganz R^2, diffbar ist betrachtet man normalerweise 2 Fälle:

Einmal den Fall der Definitionslücke, also in diesem Fall (0,0) und einmal den Rest:

1. Fall (x,y) ungleich 0: Da kannst du darüber argumentieren, dass die Verknüpfung diffbarer Funktionen diffbar ist, da brauchst du tatsächlich garnicht das alles was nach dem "when (x,y) unequal (0,0)..." gemacht wurde

2. Fall (x,y) = 0: Da wurde einfach mittels Umformungen (verstehst du diese) gezeigt, dass f in (0,0) nach Definition diffbar ist. Du kannst mal gerne deine Definition, die ihr verwendet, reinschicken, denn die Unterscheiden sich ja machmal in Kleinigkeiten (Notation, etc..)

Es gibt allerdings noch eine andere Möglichkeit Diffbarkeit nachzuweisen, nämlich: Du zeigst das alle partiellen Ableitungen existieren und stetig sind, auch in (0,0), und daraus folgt dann das die Funktion diffbar ist. Ist ein gängiger Satz in der VL, den müsstet ihr eigentlich gemacht haben! :)