Basis von Bild und Kern einer linearen Abbildung

Erste Frage Aufrufe: 415     Aktiv: 22.03.2022 um 19:49

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Hey,
ich bräuchte hilfe bei der Frage wie ich eine Basis vom Kern und Bild berechne.

Gegeben ist z.B. die darstellende Matrix einer lin. Abbildung f:
(2 2 -8
0 1 -2
-1 1 0)

Der Kern wäre nach meinen Berechnungen ker(f) = {t*(2,2,1)T|t ∈R}
und das Bild im(f) = span{(2,0,-1)T , (2,1,1)T}.

Wie bestimmte ich zu diesen U-Vektorräumen nun eine Basis?

Die muss ja linear unabhängig sein, also wäre die vom Bild praktisch das Bild selber!?
Beim Kern hab ich leider gar keine Idee, der hat ja nur die dim 1 wenn ich das richtig sehe?

Vielen Dank für eure Hilfe!

P.S. wenn mir jemand sagt wie ich das hier im Forum schön mathematisch aufschreiben kann (hab da keine Funktion für gefunden), wäre ich auch dankbar, dann ist das für alle besser lesbar.
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Eigentlich bist du schon fertig (achtung: habe nicht überprüft, ob deine Rechnung stimmt),  die Vektoren in dem Spann sind ja jeweils ein EZS von den Räumen und sie sind tatsächlich linear unabhängig (da beim Kern nur ein Vektor ist, ist das klar und beim Bild folgt das z.B. aus dem Rang der Matrix oder der Dimensionsformel für lineare Abbildungen). Wichtig ist aber, dass nur die Vektoren und nicht ihr Spann eine Basis sind.
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Danke dir für die schnelle Antwort!
Also wäre Basis Bild einfach (2,0,-1)T , (2,1,1)T und Basis Kern (2,2,1)T ?

Dann besteht also der Unterschied darin, ob ich z.B. das Bild oder eine Basis des Bildes bestimmen soll nur darin, dass ich die Vektoren richtig auswähle? Das wäre ja dann sehr einfach :)
  ─   garrett 22.03.2022 um 19:33

Ja genau, du musst dann eine minimale Anzahl an Vektoren finden, die den jeweiligen Raum aufspannen.   ─   mathejean 22.03.2022 um 19:49

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