Die Definition der Wahrscheinlichkeitsverteilung steht hier.

Also musst Du \(\sigma\)-Additivität und Normiertheit zeigen.
Die \(\sigma\)-Additivität gilt im Grunde genommen trivialerweise, und zwar dadurch, dass in der Aufgabe steht, \(p_k\) sei die Wahrscheinlichkeit, k Kinder zu bekommen. Das Wort "Wahrscheinlichkeit" beinhaltet für mich bereits, dass die \(\sigma\)-Additivität gilt.

Beispiel: Nehmen wie die paarweise disjunkten Mengen \(A=\{0\}\), \(B=\{1\}\), \(C=\{3\}\).

Dann ist \(P(k\in A \cup B \cup C) \;=\; p_0+p_1+p_3 \;=\; P(k=0) + P(k=1) + p(k=3) \;=\; P(k\in A) + P(k\in B) + P(k\in C)\).
Dabei ist \(k\) die Anzahl der Kinder.

Also musst Du nur noch die Normiertheit zeigen, also \(P(\Omega) = 1\), also \( P(k\in\mathbb{N}) = 1\), also \(\displaystyle  \sum_{k=0}^{\infty} p_k = 1\). Solltest Du hier auf Granit stoßen, bitte nochmal melden.