Unendlich viele Primzahlen (Beweis)

Aufrufe: 92     Aktiv: 15.06.2021 um 12:01

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Ich habe ein Problem den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt zu verstehen. Man nimmt an, es gibt endlich viele Primzahlen, d.h. P = {2,3 .... n}; jetzt nimmt man an, dass es eine Zahl z aus N gibt, sodass dieses z durch alle Primzahlen + 1 faktorisiert wird, damit teilt keine Primzahl z, was lt. Fundamentalsatz der Zahlentheorie der Fall sein müsste. Damit ist z entweder selbst Prim (damit gibt es eine Primzahl p' > n) oder z wird durch eine Primzahl faktorisiert, die nicht in dieser Menge enthalten ist, ok verständlich.
Mein Problem ist nur folgendes, wäre es nicht möglich, z repräsentativ darzustellen, d.h. man nimmt z.B. 3 1x raus und gibt dafür 13 noch einmal dazu, und es ist somit mit dieser repräsentativen Darstellung ev. möglich, z darzustellen. Klar könnte man alternativ sagen Faktorisiere alle Primzahlen, rechne + 1, aber wer garantiert, dass es nicht möglich ist die Zahl trotzdem darzustellen? ev. wie oben beschrieben, dass man den Faktor 2 (oder irgendeinen anderen rausnimmt), und dafür einen anderen 1 öfter reingibt, dafür aber wieder den rausnimmt usw.

Danke schon mal :)
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Punkte: 82

 

z.B. z = 2* 2 * 2 + 1 ; dann ist z ja = 3 * 3   ─   sven03 14.06.2021 um 19:16

Welche Zahl möchtest du genau darstellen?   ─   mathejean 14.06.2021 um 19:43

eine Primfaktorzerlegung ist immer eindeutig. Es gibt keine "alternative Zerlegung" einer Zahl in Primfaktoren.   ─   zest 15.06.2021 um 11:42
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2 Antworten
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Da ist evtl ein Missverständnis. "nimmt man an, dass es eine Zahl z aus N gibt, sodass dieses z durch alle Primzahlen + 1 faktorisiert".
Da ist keine weitere Annahme (außer der, dass es nur endl. viele PZen gibt). Man DEFINIERT eine Zahl z wie folgt: \(z:=2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n+1\). Siehe die beiden oben verlinkten videos.
Vielleicht kann man auch ein anderes z nehmen, weiß ich nicht. Aber ich bin sicher, der Beweis wird damit keineswegs einfacher. Und um das zu prüfen, müsstet Du erstmal ganz präzise definieren, wie Dein z aussehen soll.
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Lehrer/Professor, Punkte: 15.45K

 

Danke, also man geht einfach davon aus, dass diese Zahl, auf diese Weise dargestellt wird (als Annahme), und muss sich in dem Fall nicht damit beschäftigen, ob es nicht doch eine alternative Darstellung geben könnte?
Z.B. wenn z = p1 p2 p3 .... pn + 1 und man würde die Faktoren tauschen, ändern, d.h. p1 p1 p2 p2 p2 .... pn, sodass dieses z (inkl + 1 ) wird durch die gesetzte Annahme explizit ausgeschlossen? Ich weiß die Primfaktorzerlegung ist eindeutig, aber p1 p2 p3 ... pn + 1 ist ja in dem Fall keine Primfaktorzerlegung, damit auch nicht eindeutig, daher kann eine alternative Darstellung gefunden werden, wie z.B. p1 p1 p2 p2 p2, dieses würde ja dann ev. genau die Zahl ergeben, die gesucht ist?
  ─   sven03 15.06.2021 um 10:41

Ok ich habs verstanden, ich möchte nicht mehr alles einfach hinnehmen, und dann nicht merken, weil nicht 100%ig verstanden.
Ich bau die Zahl z induktiv auf, ich nehme 2 rein (d.h. die Zahl muss durch 2 teilbar sein) und dann alle Faktoren bis n (d.h. z muss durch alle seine Faktoren teilbar sein, d.h. die Zahl z ist mod aller Faktoren = 0, wenn ich + 1 rechne, bin ich jeweils in einer Restklasse drinnen, das würde bedeuten, dass diese Zahl weder durch 2, noch durch 3 noch durch irgendeinen anderen Faktor teilbar ist.
Ich brauch weder neu beweisen lernen, noch sonst was, ich muss nur lernen, aktiv Lösungen zu entwickeln, danke nochmal :)
  ─   sven03 15.06.2021 um 10:59

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Ah, jetzt verstehe ich was Du meinst! z = p1 p2 p3 .... pn + 1 ist aber keine Darstellung nach irgendwelchen Kriterien (keine Zerlegung nach irgendwas), sondern eine Rechenvorschrift. Die so gebildete Zahl hat dann die im Beweis erwähnten Eigenschaften, die Du ja verstanden hast. Und die wurde zu diesem Zweck ja so berechnet.
Diese Zahl z wird aber nicht weiter zerlegt oder dargestellt. Natürlich kann genau dieses z auch anders dargestellt werden, in dieser oder jener Weise eindeutig oder nicht eindeutig, das ist aber für den Beweis uninteressant, wird nicht gebraucht. Dann sieht man ja auch nicht mehr, dass z z.B. den Rest 1 lässt beim Teilen durch pi. Und das ist das Ziel im Beweis.
"ich möchte nicht mehr alles einfach hinnehmen, und dann nicht merken, weil nicht 100%ig verstanden." Das ist sehr lobenswert und genau die richtige Einstellung!

  ─   mikn 15.06.2021 um 11:59

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Hi :) 

Schau doch mal hier rein oder wenn du es musikalisch haben willst hier 

Wenn du dann noch Fragen hast, melde dich gerne! 


viele Grüße 

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Schüler, Punkte: 3.3K

 

Danke :) Ich weiß, wie man beweist, man setzt voraus, hoff ich zumindest, sonst fang ich am Bau an zu arbeiten - jedenfalls - hab ich mir nur vorsgestellt, was wäre, wenn diese Zahl z durch andere in dieser endlichen Menge auftretenden Primfaktoren auf andere weise dargestellt wird, sodass dieses + 1 (nicht wegfällt, da diese andere Faktoren p1' p2' p2' .... pn' dieses z darstellen, wie in dem Kommentar   ─   sven03 15.06.2021 um 10:39

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