Ich habe das Gefühl, dass uns hier noch ein paar Angaben fehlen, aber egal... Das Integral der rechten Seite jedenfalls lässt sich so berechnen (das \(\mathrm d S\) denke ich mir dazu):

\[ \int \frac p S - 1 \, \mathrm d S = p \log S - S + c_1 \]

Das hat schon Ähnlichkeit mit dem Ergebnis. Auch die linke Seite kann man (wieder mit einem zusätzlichen \(\mathrm d S\), das sich aber sofort wegkürzt) integrieren

\[ \int \frac {\mathrm d I} {\mathrm d S} \, \mathrm d S = \int \mathrm d I = I + c_2 \]

Das könnte man dann zusammenfassen zu

\[ \int \frac {\mathrm d I} {\mathrm d S} \, \mathrm d S - \int \frac p S - 1 \, \mathrm d S = I + c_2 - p \log S + S - c_1 \]

Macht das Sinn für dich?