Eine stetige $1$-form auf $\mathbb{R}$ hat die Form

$$f(x)dx$$
mit stetigen $f(x)$. Dies ist quasi eine Funktion, $f(x)$, mal die lineare Abbildung

$$dx(v)=v.$$ Dies bedeute, dass für jedes feste $x \in \mathbb{R}$ die Abbildung

$$L_x(v)=f(x)dx(v)=f(x)v$$
linear ist. Das ist denke ich eine brauchbare "working definition". Für die genaue Defintion frag bitte deinen Dozenten oder konsultiere Unterlagen/Textbücher. Relatierte Begriffe sind u.A. das totale Differential. Ich könnte jetzt hier ausholen und über Schnitte des Vektorbündels $T^* \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ oder das 1-Formen isomorph zu Vektorfeldern sind, aber ich denke, dass hilft dir nicht und daher nehme ich diese "working definition".

Eine $1$-form heißt exakt, wenn es ein differenzierbares $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ gibt, so dass

$$dg(x)=g'(x)dx=f(x)dx$$

gilt. Also frage ich einfach nur nach der Existenz einer Funktion, so dass $g'(x)=f(x)$ gilt. Und das erreicht man easy mit dem Hauptsatz:

$$g(x)=\int_0^x f(t)dt$$

definiert dir so ein $g$. Mach dir klar warum und warum ich statt $0$ auch jeden anderen Punkt auf der reelen Achse hätte wählen können.