Ich nehme mal an, du kennst den Struktursatz von endlich erzeugten Moduln über Hauptidealringen, denn die Aufgabe hört sich stark danach an. \(V\), zusammen mit \(F\in\mathrm{End}_K(V)\) wird mittels \(K[X]\times V\to V,\ (f,v)\mapsto f(F)v\) zu einem \(K[X]\)-Modul, und \(K[X]\) ist ein Hauptidealring. Nun folgt mit dem Struktursatz, dass es paarweise verschiedene, normierte irreduzible Polynome \(p_1,\ldots,p_r\), für jedes \(p_i\) ganze Zahlen \(n(i,1)\geq n(i,2)\geq\ldots\geq n(i,s_i)\geq 1\) sowie Unterräume \(V_{ij}\cong K[X]/(p_i^{n(i,j)})\) gibt, sodass es die folgende Zerlegung gibt: $$V=\bigoplus_{i=1}^r\bigoplus_{j=1}^{s_i}V_{ij}$$ Weiter überlegt man sich leicht, dass die \(V_{ij}\) \(F\)-irreduzible Unterräume mit \(\dim_{K}V_{ij}=n(i,j)\deg(p_i)\) sind, sowie \(F\) das Minimalpolynom \(\mathrm{mipo}_{F,K}=\prod_{i=1}^rp_i^{n(i,1)}\) hat. Das sind alles Standard-Ergebnisse, die ich hier nicht alle beweisen möchte. Ich gehe eh davon aus, dass dir das meiste davon bekannt ist. Wenn dir noch etwas unklar ist, versuch erstmal selbst, das zu beweisen, es ist alles nicht schwer. Ansonsten kannst du auch gern nochmal nachfragen.

Nun zu deinem konkreten Problem. Aus der Angabe liest man ab, dass \(X^2+1\) das Minimalpolnom zu \(F\) ist. Folglich gilt in der obigen Zerlegung \(r=1,p_1=X^2+1\) und \(n(1,1)=1\). Dann gilt aber \(n(1,j)=1\) für alle \(j\), sodass \(V=\bigoplus_{j=1}^sV_{j}\) mit \(V_j\cong K[X]/(X^2+1)\) gilt. Die \(V_j\) sind auf jeden Fall \(F\)-invariant und haben Dimension \(2\), aus dieser Darstellung von \(V\) folgt auch sofort, dass \(V\) gerade Dimension hat.