Abbildung, Surjektivität

Aufrufe: 737     Aktiv: 24.10.2020 um 22:31
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Möchte folgende Gleichung auf Surjektivität prüfen:

 

\(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; (a,b) \to a^2+b^2-1\)

 

\(f(a,b) = x\)      Nebenrechnung: \(a^2+b^2-1=x \to a^2=x-b^2+1\)

\(f(a,b) = a^2+b^2-1 \to (x-b^2+1) +b^2-1\to x\)

Das sollte ja eigentlich heißen, dass die Funktion surjektiv ist, aber z.B. für \(x = -2\) wäre \(a^2+b^2 = -1\) nicht surjektiv, da -1 keine reele Lösung sein kann.

Was überseh ich hier?

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Du löst die Gleichung nach a^2 auf, setzt es in die selbe Gleichung wieder ein, und - oh Wunder - kommt wieder x raus. Das zeigt gar nichts. Du solltest a und b finden, so dass \(a^2+b^2-1=x\) ist, wobei \(x\in R\) vorgegeben ist. Wenn f surjektiv ist, dann geht das (das Finden von a und b), sonst nicht. Fang mit Beispielen für x an, setze konkrete Zahlen für x ein und schau, ob Du solche a,b findest.

Melde Dich mit Ergebnissen wieder, welches x, welches a, b (konkrete Zahlen! Oder Begründung, falls es nicht geht).

PS: Und eine Gleichung oder ein x ist nie surjektiv, nur eine Funktion kann das sein.

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Dann stimmt aber das Gegenbeispiel? Also ist die Funktion nicht surjektiv.   ─   universeller 24.10.2020 um 20:18

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