Deine Lösung geht in die richtige Richtung, und Dein Bisektor ist richtig, allerdings fehlen beim Beweis wesentliche Teile - insbesondere die Betragsstriche.
So ist \(|0-x|+|0-y|\) = \(|x|+|y|\), und nicht x+y.
Ebenso ist \(|4-x|+|0-y|\) = \(|4-x|+|y|\).
Daraus folgt \(|x|+|y| = |4-x|+|y|\), also \(|x| = |4-x|\).
Bei Gleichungen mit Betragsstrichen muss man meistens Fallunterscheidung machen.
Hier aber kann die nervice Fallunterscheidungen durch folgenden Trick vermieden werden:
Quadriere obige Gleichung. Das ergibt \(x^2 = (4-x)^2\). Diese quadratische Gleichugn hat die einzige Lösung x=2.

Statt "y-Koordinate kann jeder beliebiger Punkt sein" besser schreiben: "y-Koordinate kann jeden beliebigen Wert annehmen".
Diese Aussage muss man natürlich noch beweisen.

Vielleicht so:
Wie oben gezeigt, ist \(\|(0,0)-(x-y)\|_1 = \|(4,0)-(x-y)\|_1 \;\; \Longleftrightarrow \;\; |x| = |4-x| \;\; \Longleftrightarrow \;\; x=2\).
Also ist der Bisektor gleich \(\{(x,y);\; x=2\} \;=\;   \mathbb{R} \times \{2\}\).