Deine Lösung geht in die richtige Richtung, und Dein Bisektor ist richtig, allerdings fehlen beim Beweis wesentliche Teile - insbesondere die Betragsstriche.
So ist $|0-x|+|0-y|$ = $|x|+|y|$, und nicht x+y.
Ebenso ist $|4-x|+|0-y|$ = $|4-x|+|y|$.
Daraus folgt $|x|+|y| = |4-x|+|y|$, also $|x| = |4-x|$.
Bei Gleichungen mit Betragsstrichen muss man meistens Fallunterscheidung machen.
Hier aber kann die nervice Fallunterscheidungen durch folgenden Trick vermieden werden:
Quadriere obige Gleichung. Das ergibt $x^2 = (4-x)^2$. Diese quadratische Gleichugn hat die einzige Lösung x=2.

Statt "y-Koordinate kann jeder beliebiger Punkt sein" besser schreiben: "y-Koordinate kann jeden beliebigen Wert annehmen".
Diese Aussage muss man natürlich noch beweisen.

Vielleicht so:
Wie oben gezeigt, ist $\|(0,0)-(x-y)\|_1 = \|(4,0)-(x-y)\|_1 \;\; \Longleftrightarrow \;\; |x| = |4-x| \;\; \Longleftrightarrow \;\; x=2$.
Also ist der Bisektor gleich $\{(x,y);\; x=2\} \;=\;   \mathbb{R} \times \{2\}$.