Moin,

partielle Integration kommt oft zum Einsatz, wenn man $\sin$, $\cos$ oder $e^x$ integrieren will, denn da sind die Ableitungen/Stammfunktionen periodisch. Patrialbruchzerlegung kommt nur dann zum Einsatz, wenn es einen Bruch gibt, dessen Nenner man Faktoriesieren kann. Selbst dann ist Partialbruchzerlegung nicht immer hilfreich, diese Methode benutzt man am seltensten. Am häufigsten wirst du Integration durch Substitution verwenden, nämlich immer dann, wenn ein Teil des Integranden so aussieht wie die Ableitung eines anderen Teils. 
Sollten Partialbruchzerlegung und partielle Integration nichts bringen kann man oft eine Substitution finden (die im Allgemeinen nicht offensichtlich ist), die das Integral erheblich vereinfacht.
Beim Integrieren gilt aber wie bei allem anderen auch: Übung macht den Meister, und Intuition erhält man auch nur, wenn man schon einige Integrale selber gelöst hat. Übungsmöglichkeiten im Internet gibt es genug, wenn du neben der Vorlesung üben willst, ich verweise hierfür auf dieses und dieses Video auf YouTube. Beide sind in Enlisch, das sollte aber kein Problem darstellen.

LG