Beschränktheit von expliziten Folgen

Aufrufe: 431     Aktiv: 04.01.2021 um 17:57

0

Hallo,

Ich soll die im Bild stehende Folge auf Konvergenz untersuchen und ggf. den Grenzwert ermitteln. Nun muss ich ja Beschränktheit und Monotonie zeigen, mein Problem ist, dass ich keine Vorstellung davon habe wie man bei expliziten Folgen die Beschränkteit nachweisen kann. Soweit ich weiß, macht man das mit vollständiger Induktion, bisher habe ich das jedoch nur bei rekursiv definierten Folgen gemacht und komme grade nicht darauf, wie man das bei expliziten Folgen machen kann. 

Wenn mir jemand das kurz erklären könnte, wie man allgemein Beschränktheit bei expliziten Folgen zeigen oder widerlegen kann (nicht nur bei der Folge im Bild), wäre ich sehr dankbar. In der Vorlesung hatten wir dazu nur rekursive Folgen besprochen. 

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 24

 
Kommentar schreiben
2 Antworten
0

Erweiter den Bruch im Nenner und Zähler mit \(\frac{1}{n^3}\) und nutze dann bei den einzelnen Resultaten, dass \(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n} = 0\)

Diese Antwort melden
geantwortet

Student B.A, Punkte: 1.47K

 

Aber muss man um das tun zu können, nicht erst zeigen, dass die Folge konvergent ist ?
Also indem man Beschränktheit nachweist und die Monotonie untersucht
  ─   anonymc1cc3 04.01.2021 um 14:52

1
Genau so wie @mikn sagt. Natürlich ist die Vorraussetzung, dass ihr diese in der VL hattet. Aber das behaupte ich jetzt einfach mal! ;)   ─   kallemann 04.01.2021 um 16:46

Kommentar schreiben

-1

Soll nur Beschränktheit gezeigt werden, dann musst du wie folgt vorgehen. Möchtest du z.B. zeigen, dass deine Folge \(a_n\) nicht kleiner als 2 werden kann, musst du zeigen \(2\leq a_n\). Für gewöhnlich setzt man dann die Formel für \(a_n\) ein und formt solange um (bzw. schätzt ab) bis eine wahre Aussage heraus kommt. Dieses Vorgehen ist zwar hilfreich für deine Argumentation und dein Verständnis, aber eigentlich muss du von einer wahren Aussage aus starten und dann umformen bzw. abschätzen bis du dort bist wo du hinwillst. Beispiel. Ich will für die Folge \(a_n=2+\dfrac{1}{n}\) zeigen, dass \(2\leq a_n\) für alle \(n\in \mathbb{N}\) erfüllt ist. Dann wäre folgende Argumentation mathematisch falsch:

\(2\leq a_n =2+\dfrac{1}{n} \quad \Leftrightarrow \quad 0\leq \dfrac{1}{n}\) w.A.

Da aus der mathematischen Logik heraus aus was Falschem auch etwas Richtiges folgern kann, muss \(2\leq a_n\) nicht erfüllt sein. Wenn du aber nun andersherum herangehst:

Für alle \(n\in \mathbb{N}\) gilt: \(0\leq \dfrac{1}{n} \quad \Leftrightarrow \quad 2=2+\dfrac{1}{n}\quad \Leftrightarrow \quad 2\leq a_n\) für alle \(n\).

Dann hast du aus der mathematischen Logik heraus nun gezeigt, dass \(2\leq a_n\) wahr ist, weil du es aus der wahren Aussage \(0\leq \dfrac{1}{n}\) geschlussfolgert hast.

 

Wenn du also zeigen möchtest dass für alle deine Folgeglieder gilt: \(a_n<17\), dann würde ich dir empfehlen für dich erst einmal den falschen Weg zu gehen, um zu schauen zu welcher wahren Aussage führt mich meine Ungleichung (Abschätzung). Wenn du die Aufgabe aber abgeben solltest, dann starte quasi von hinten und folgere zuletzt das was du zeigen willst. 

Sollten die Grenzwertsätze aber bekannt sein reicht die Existenz eines Grenzwerts für die Beschränktheit aus und dann kannst du es so machen wie @kallemann dir bereits erklärt hat.

 

Hoffe ich konnte dir damit helfen.

 

Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 8.04K

 

@mikn wie immer danke dir wegen dem kritischen Überdenken meiner Aussagen ... in der Regel ist tatsächlich für Mathematiker eine Schreckliche Formulierung da geb ich dir recht. Was die Beschränktheit angeht, dächte ich mich aber erinnern zu können diese früher so gezeigt zu haben.   ─   maqu 04.01.2021 um 16:42

@mikn ja ich gehe voll konform damit, dass die Variante mit dem ausklammern der höchstens Potenz deutlich einfacher geht   ─   maqu 04.01.2021 um 17:57

Kommentar schreiben