Hallo,

zur 4.1: Wie sieht denn die Ebene \( E_0 \) aus?

zur 4.2: Hier hast du einen Rechenfehler gemacht

$$ r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = r \cdot \left( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right) = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Wir erhalten also nach anwenden der Matrix auf die Gerade die Gerade

$$ h : \vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

was wir jetzt noch zeigen müssen, das diese beiden Geraden die selben sind. Das machen wir, indem wir zeigen das diese beiden Geraden in die gleiche Richtung zeigen. Da beide durch den Ursprung verlaufen, reicht das um die Gleichheit zu zeigen. 
Also überprüfen wir die Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit

$$ \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Ich denke es ist schnell einsichtig, das dies durch \( \lambda = -1 \) gelöst wird.

Somit erhalten wir die gleiche Gerade. 

zur 5.1 wir gehen genau so vor wir bei der 4.2. Auch hier hast du dich leider verrechnet. Am besten guckst du dir nochmal die Vektor-Matrix-Multiplikation an.
Als Tipp, fasse die Vorfaktoren zusammen und lasse die erstmal außen vor bei der Multiplikation. Multipliziere wirklich erstmal nur Vektor und Matrix.

zur 5.2: Berechne \( \vec{w} \cdot N \). Welcher Vektor kommt heraus? Dann nutze das Skalarprodukt

$$ \frac {\vec{w} \cdot \vec{w}'} {|\vec{w}| \cdot |\vec{w}'|} = \cos( \alpha) $$

Zur 5.3: Die Matrix verursacht eine Drehung um einen Winkel. Wenn wir die Matrix zweimal anwenden, dann haben wir eine Drehung um den doppelten Winkel. 
Wie hilft uns bei dieser Aufgabe dieser Gedanke?

Versuch dich mal, ich gucke gerne nochmal drüber.

Grüße Christian