Definition unendlichdimensionales kartesisches Produkt

Aufrufe: 671     Aktiv: 05.09.2020 um 22:31
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Hi, bitte um Erklärung der Definition vom unendlichdimensionalen kartesischem Produkt. Verstehe grundsätzlich was ein kartesisches Produkt ist, nur die unendlichedim. Version ist für mich einfach nur unverständlich.

Danke im Vorhinein.

Ist \( (\Omega_i)_{i\in I} \) eine Familie von Mengen mit einer beliebigen Indexmenge \( I \), so nennt man

\( \prod_{i \in I} \Omega_i  = \Big\{ \omega \colon I \to \bigcup_{i \in I} \Omega_i \,\Big|\, \forall i \in I \colon \omega(i) \in \Omega_i \Big\} \)

das kartesische Produkt der \( \Omega_i \).

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Wo ist denn konkret das Problem? Das ist genau wie ein kart. Produkt einer endlichen Indexmenge, nur ist die Indexmenge diesmal unendlich groß. Es sind also keine Paare, keine 3-Tupel, keine 4-Tupel, sondern "\(\infty\)"-Tupel. Man kann ein solches Tupel als eine Folge ansehen, wo das \(i\)-te Folgenglied aus \(\Omega_i\) stammt (Ergänzung aufgrund der Antwort von rodion26) falls die Indexmenge abzählbar-unendlich ist.

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Die Vereinigung is für mich der unverständliche Teil der Definition. Die kommt für mich halt so aus dem Nichts :/   ─   grammel 05.09.2020 um 22:11
Ok ich werd das mal so akzeptieren und mir morgen in Ruhe nochmal durchdenken. Danke dir!   ─   grammel 05.09.2020 um 22:29

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Eine ganz gute Erklärung habe ich bei Wikipedia gefunden. Schau dir zuerst den anschaulichen Spezialfall \( I = \mathbb N ,\, \Omega_i = \mathbb R \) an. Davon ausgehend kannst du verallgemeinern auf andere Mengen. (Vielleicht brauchst du in Wirklichkeit auch nur den Spezialfall...)

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