Monotonie und Konvergenz einer rekursiven Folge

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Aufgabenstellung
Sei $c>0$ Für einen Startwert $x_{0} \in\left(0, \frac{2}{c}\right)$ sei die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}_0}$ rekursiv definiert durch
$x_{n+1}=x_{n}\left(2-c x_{n}\right) \text { für } n \geq 0$

a) Zeigen Sie, dass die Folge für $n \geq 1$ monoton wächst und beschränkt ist.
b) Zeigen Sie, dass die Folge gegen $\frac{1}{c}$ konvergiert.

Bei a) sieht mein Ansatz wie folgt aus:

Also, dass $x_n+1 \geq x_n$ sein muss macht ja Sinn. Nur ich verstehe nicht ganz wie ich das jetzt beweise. Was kann ich jetzt mit $x_n-cx_n^2 \geq 0$ anfangen (sofern das korrekt ist) damit ich monotones Wachstum beweise? 

Ein Tipp für b wäre auch super.
 
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Punkte: 27

 

Du hast nur gezeigt, dass wenn die Folge konvergiert, dann gegen diesen Grenzwert, dass ist aber kein Beschränktheitsbeweis, mach das im Zweifel per Induktion   ─   mathejean vor 4 Tagen, 13 Stunden

Soll ich also $\frac{1}{c} \geq x_n$ bzw. $\frac{1}{c}-x_n \geq 0$ beweisen?   ─   user89b235 vor 4 Tagen, 13 Stunden

Für die Beschränktheit ja, mit deiner Rechnung zusammen mit a) hast du die b) dann gelöst :D   ─   mathejean vor 4 Tagen, 12 Stunden

Wie bekomm ich denn $\frac{1}{c} - x_n \geq 0$ bewiesen. Ich verstehe nicht wie ich da mit Induktion vorgehen soll. Und was ist dann danach mit der Monotonie?   ─   user89b235 vor 4 Tagen, 12 Stunden
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