Bestimme Galoisgruppe und alle Zwischenkörper des Zerfällungskörpers des Polynoms X^6-2 enthalten Q[X] über Q.

Meine Überlegungen:
Zerfällungskörper ist  K=Q(\( \sqrt[6]{2} \), a) wobei a primitive 6te Einheitswurzel ist
Aus Satz der Vorlesung folgt direkt , dass die Körpererweiterung galois ist, da über Q alle Polynome separabel sind.

X^6-2 ist Minimalpolynom von \( \sqrt[6]{2} \) über Q und somit ist [Q( \( \sqrt[6]{2} \)):Q]=6.
Weiter ist a nicht in Q( \( \sqrt[6]{2} \) enthalten nach Vorlesung.
Somit [K:Q( \( \sqrt[6]{2} \))]>1.
Minimalpolynom von a über Q ist X^5+X^4+X^3+X^2+X+1 nach Vorlesung.

Dann führe ich das so fort und erhalte, [K:Q]=30.
Jetzt weiß ich aber nicht weiter wie ich die Galoisgruppe und die Zwischenkörper bestimme. Kann jemand helfen oder sagen ob bis dahin alles passt?