Bestimme Galoisgruppe und alle Zwischenkörper

Aufrufe: 401     Aktiv: 09.02.2022 um 20:43

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Bestimme Galoisgruppe und alle Zwischenkörper des Zerfällungskörpers des Polynoms X^6-2 enthalten Q[X] über Q.

Meine Überlegungen:
Zerfällungskörper ist  K=Q(\( \sqrt[6]{2} \), a) wobei a primitive 6te Einheitswurzel ist
Aus Satz der Vorlesung folgt direkt , dass die Körpererweiterung galois ist, da über Q alle Polynome separabel sind.

X^6-2 ist Minimalpolynom von \( \sqrt[6]{2} \) über Q und somit ist [Q( \( \sqrt[6]{2} \)):Q]=6.
Weiter ist a nicht in Q( \( \sqrt[6]{2} \) enthalten nach Vorlesung.
Somit [K:Q( \( \sqrt[6]{2} \))]>1.
Minimalpolynom von a über Q ist X^5+X^4+X^3+X^2+X+1 nach Vorlesung.

Dann führe ich das so fort und erhalte, [K:Q]=30.
Jetzt weiß ich aber nicht weiter wie ich die Galoisgruppe und die Zwischenkörper bestimme. Kann jemand helfen oder sagen ob bis dahin alles passt?
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1 Antwort
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Du hast doch schon die Zwischenkörper,  es ist \(\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[6]{2})\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[6]{2},a)=:K\). Die Galoisgruppe sind alle \(K\)-Automorphismen, die \(\mathbb{Q} \) festhalten.
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Okay vielen Dank! Aber du schreibst hier von Q adjungiert 3te Wurzel von 2 etc.

Ich hatte aber von der 6ten Wurzel geredet. Kann man das einfach so umschreiben oder hast du dich vertippt?
  ─   user7be8f1 09.02.2022 um 18:05

Vertippt!   ─   mathejean 09.02.2022 um 20:43

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