Gesucht ist Matrix D, welche Matrix A diagonalisiert

Aufrufe: 219     Aktiv: 09.02.2022 um 13:18

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Hallo,
Matrix A ist eine 4x4 Matrix, die nur aus Einsen besteht.

Im ersten Schritt würde ich die Eigenwerte bestimmen. Über die Determinante und die Nullstellen. Als charakteristisches Polynom habe ich c(x)=x^4-4x^3 und somit als Eigenwerte x1=4 und x2=0. Wobei ich mir unsicher bin, ob x2 eine dreifache Nullstelle ist?

Muss ich jetzt die Eigenvektoren noch berechnen, oder reicht es die Diagonalmatrix aus den Eigenwerten aufzuschreiben?

Vielen Dank im Vorraus!!


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Pro Eigenwert musst du die Eigenvektoren bestimmen.
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Dass man pro Eigenwert einen Vektor aufstellt ist mir bewusst. Aber was mache ich dann mit den Vektoren?   ─   pms8 08.02.2022 um 17:10

Sehr gut. Mir diesen Vorkenntnissen prüfst du, ob algebraische und geometrische Vielfachheit übereinstimmen   ─   scotchwhisky 08.02.2022 um 17:31

Die Vektoren sind b(1,1,0,0)+c(-1,0,1,0)+d(-1,0,0,1) und (1,1,1,1). Aber welche ist denn die Matrix D ?   ─   pms8 08.02.2022 um 19:14

"Gesucht ist die Matrix D, die die Matrix A diagonalisiert"   ─   pms8 09.02.2022 um 11:56

Beim Diagonalisieren sucht man immer eine Basisauseigenvektoren, da hier dann auf der Hauptdiagonale die Eigenheiten stehen und sonst nichts. Du musst also einen Basiswechsel vornehmen   ─   mathejean 09.02.2022 um 12:06

Von einem Basiswechsel habe ich bisher noch nie gehört. Ich habe es eben gegoogelt, versteh es aber nicht so recht?   ─   pms8 09.02.2022 um 12:18

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Okay, wahrscheinlich habt ihr es dann nicht ausführlich besprochen, schade. Hier ein anderer Weg: Wenn du in die Spalten von \(D\) die Eigenvektoren \(v_1,\ldots, v_n \) einträgst, ist \(A\cdot D=D\cdot \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots, v_n)\). Du musst also einfach nur in die Matrix die Eigenvektoren als Spalte eintragen   ─   mathejean 09.02.2022 um 12:27

okay, super! Danke   ─   pms8 09.02.2022 um 13:18

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