Moin,

bei der Ableitung stimmt so einiges nicht. Es ist $$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{dx}}\left(\frac{3}{x+2}+\ln{\left|\frac{x-1}{x+2}\right|}\right)=\frac{-3}{(x+2)^2}+\frac{x+2}{x-1}\cdot\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{dx}}\left(\frac{x-1}{x+2}\right)=\frac{-3}{(x+2)^2}+\frac{x+2}{x-1}\left(\frac{(x+2)-(x-1)}{(x+2)^2}\right)\\=\frac{-3}{(x+2)^2}+\frac{3}{(x-1)(x+2)}=\frac{-3(x-1)+3(x+2)}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{9}{(x-1)(x+2)^2}$$Andersherum benutzt man (wie du schon richtig gesagt hast) Partialbruchzerlegung.

LG

PS: Ich stimme mikn zu, zum einen zeigst du kein Feedback zu präsentierten Lösungen, zum anderen ist die Aufgabe sogar falsch abgeschrieben (einmal ist ein "-" im nenner anstelle eines "+"). Dabei ist es gar nicht schwer, einfach kurz eine Rückmeldung zu geben, wenn etwas verstanden, oder eben nicht verstanden wurde.