Geometrische Konstruktion

Erste Frage Aufrufe: 204     Aktiv: 30.08.2021 um 17:31

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Konstruktion mit Zirkel und Lineal: Ziel ist es, ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Seiten a, b, c zu konstruieren, wobei Seite c die Hypotenuse ist. Gegeben (vorgedruckt auf Blatt):

-Gerade g, darauf muss die Hypotenuse,
-Punkt M auf g, dieser muss der Mittelpunkt der Hypotenuse werden,
-Punkt A, dieser muss auf der Seite a sein,
-Punkt B, dieser muss auf der Seite b sein.

Ich kriege es leider nicht hin. Hat jemand eine Idee?

Edit: Nur um klarzustellen: Punkte A und B sind auf der gleichen Seite der Gerade, angeordnet sodass ein solches Dreieck existiert.

 

Das ist die originale Aufgabe. Ich habe die Beschreibung abgeändert, da ich zuerst nicht wusste, dass man hier Bilder einfügen kann. Der komplexe Teil der Konstruktion sollte jedoch äquivalent sein. (Gerade g von meiner Beischreibung würde der Diagonalen BD des Rechtecks entsprechen, und Punkte A und B von meiner Beschreibung den Punkten R und S auf der Skizze)

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Lade mal die Aufgabe im Original hoch, die Bezeichnungen sind merkwürdig....   ─   mikn 27.08.2021 um 21:43

Ich habe die originale Aufgabe hochgeladen. Bitte nehmen Sie zur Kenntnis, dass meine Beschreibung etwas abgewandelt ist, im Grunde sollten aber beide Versionen äquivalent sein.   ─   chessking96 28.08.2021 um 12:51

Wenn man zum Frage-stellen die Aufgabenstellung runterkocht, muss man sehr sicher sein und sauber formulieren. Du hast Bezeichnungen geändert, noch dazu unüblich (Punkt A in einem Dreieck liegt NIE auf der Seite a, B NIE auf b). Und Du redest von M Mittelpunkt der Hypotenuse, davon sehe ich in der Aufgabenstellung nichts. Deine "Äquivalenz" ist da nicht hilfreich, sondern kostet uns Leser zusätzlich Zeit.   ─   mikn 28.08.2021 um 13:46

Ja tut mir leid, A und B sind eigentlich immer die Ecken vom Dreieck, naja mein Fehler.

M in der Aufgabenstellung ist etwas unklar, da es gar nicht beschrieben wird, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass es der Mittelpunkt vom Rechteck sein sollte.
  ─   chessking96 28.08.2021 um 13:54

Ohne M ist eine Konstruktion nicht schwer. Mit M kann ich es nicht aus dem Ärmel schütteln und ehrlich gesagt ist mir Dein "ziemlich sicher" zu wenig, daran jetzt länger rumzutüfteln ohne dass die Aufgabenstellung klar ist. In Deiner "aquivalenten" Formulierung fehlt auch der dritte gegebene Punkt. Was steht vor dem "a)" in der Aufgabe?   ─   mikn 28.08.2021 um 16:37

Ja, bei diesem Lehrer war halt M immer der Mittelpunkt von irgend etwas. Und zwei Punkte definieren ja eine Gerade.
Vor dem a) steht leider gar nichts in der Aufgabe, ausser dass es die Prüfungsaufgabe Nr. 7 ist und die Aufgabe 8 Punkte gibt.

Danke Ihnen trotzdem für die Hilfe beim Formulieren! So kann ich nächstes Mal mich von Anfang an klarer ausdrücken.
  ─   chessking96 29.08.2021 um 08:56
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Ich weiß zwar nicht, ob das die eleganteste Lösung ist, aber sie sollte funktionieren:

Wir konstruieren ein Koordinatensystem mit der \( y \) -Achse durch die Punkte \( M \) und \( T \) und mit der \( x \)-Achse durch den Mittelpunkt der Strecke \( \overline{RS} \). (Das ist mit Zirkel und Lineal möglich)

Damit bekommen wir die Koordinaten \( M=(0,m) \), \( R=(r,-y) \) und \( S=(s,y) \).

Nun stellen wir uns das fertig konstruierte Dreieck vor.

Wenn wir den Punkt \( B \) konstruieren können, dann können wir auch das Dreieck konstruieren. Wir benötigen also seine Koordinaten.

Allgemein haben wir (weil \(M=(0,m) \) der Mittelpunkt der Hypotenuse sein soll) die Koordinaten \( B=(0,m+x) \) und \( D=(0,m-x) \) für ein \( x \), das wir noch herausfinden müssen.

Aus der Rechtwinkligkeit des Dreiecks folgt, dass die Vektoren \( \vec{SB} \) und \( \vec{RD} \) senkrecht aufeinander stehen. Ihr Skalarprodukt ist also Null. Eine konkrete Rechnung liefert dann \( x=y+\sqrt{rs+m^2} \) als eine passende Lösung.

Wir erhalten also \( B=(0,m+y+\sqrt{rs+m^2}) \). Nun musst du dir überlegen, wie man diesen Punkt aus den Punkten \( M \), \( R \) und \( S \) konstruieren kann.
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Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich werde sie heute Nachmittag noch detailliert versuchen nachzuvollziehen. Diese Herangehensweise war mir bislang in der Geometrie noch nicht bekannt, dass man quasi mathematisch überlegt, welchen Term man benötigt, und danach diesen versucht zu konstruieren.   ─   chessking96 29.08.2021 um 09:08

Allerdings hat die Lösung nicht wirklich viel mit der Aufgabe zu tun, weil man nicht weiß, welche Bedeutung M hat.   ─   cauchy 29.08.2021 um 11:56

Vielen Dank anonym83bed für die Antwort. Ich konnte den mathematischen Teil sowie den Konstruktionsteil nachvollziehen. Für letzteren habe ich mich bei Wikipedia orientiert: https://de.wikipedia.org/wiki/Konstruktion_mit_Zirkel_und_Lineal, Abschnitt Algebraische Operationen. Es hat funktioniert, zumindest auf GeoGebra, auf dem Papier möchte ich das lieber nicht ausprobieren, da es doch einige Schritte bis zur Lösung sind. Vielen Dank!

Also ich finde die Lösung hat schon etwas mit der Aufgabe zu tun, weil es genau das ist, was ich mir gewünscht habe.
  ─   chessking96 30.08.2021 um 11:15

Wenn es das ist, was du dir gewünscht hast, ist ja alles gut. Mit der eingestellten Aufgabe hast es dennoch nichts zu tun. Wir bereits festgestellt wurde, sind deine Problembeschreibung und die Aufgabe nicht äquivalent. Und wenn es wirklich nur um die eigentliche Aufgabe geht, ist die Konstruktion deutlich einfacher.   ─   cauchy 30.08.2021 um 12:37

Soll ich denn jetzt die Frage noch bearbeiten, dass beim ersten Mal lesen klar wird, was gemeint ist?   ─   chessking96 30.08.2021 um 14:15

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Meine Meinung: Für diese Aufgabe ist die Sache gegessen, keine Bearbeitung nötig. Mich würde aber interessieren, was Dein Lehrer zu der Lösung sagt und ob die Aufgabe wirklich so gemeint war. Und für's nächste Mal bitte gleich die Originalaufabenstellung beilegen und keine selbst geschriebenen Deutungen derselben (wenn man nett zu uns Beantwortern sein möchte und selbst gerne eine zügige Antwort hätte).   ─   mikn 30.08.2021 um 14:36

Ich bin schon lange kein Schüler mehr und habe deshalb auch keinen Lehrer mehr :), die Aufgabe hatte ich vor Jahren an einer Prüfung und ist nun eher zufällig an mich gelangt. Es hat mich einfach gewundert, wie man sie Grundsätzlich lösen kann. Es wäre nun allerdings interessant, noch einmal Kontakt mit dem Lehrer aufzunehmen.   ─   chessking96 30.08.2021 um 16:51

Ich meinte den Lehrer, den Du mit "bei diesem Lehrer" meintest. Wenn Du den gar nicht kennst, ist es wirklich hochspekulativ wie die Aufgabe gemeint ist.   ─   mikn 30.08.2021 um 17:31

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