Funktionenfolge / Konvergenz

Erste Frage Aufrufe: 402     Aktiv: 14.05.2021 um 09:30
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Hi!

Ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich leider überhaupt keine Idee habe. Es geht um folgendes:

\(f_n:(0,1] \rightarrow \mathbb{R}: x \rightarrow \frac{2x}{n} e^{\frac{x^2}{n}}\)

Zuerst ist gefragt, gegen welche Funktion die Funktionenfolge punktweise konvergiert und ob sie zusätzlich gleichmäßig konvergiert.

Vielleicht kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen / zeigen wie man vorgeht.

Vielen Dank schonmal!

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Für die punktweise Konvergenz musst du nur \(\lim_{n\to\infty}\frac{2x}ne^{x^2/n}\) berechnen. Das ist einfach, denn der erste Faktor geht gegen \(0\) und der zweite gegen \(1\), also geht das ganze gegen \(0\). Die Grenzfunktion ist also \(f:(0,1]\to\mathbb R,x\mapsto 0\). Für die gleichmäßige Konvergenz kannst du überprüfen, ob \(\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in(0,1]}|f_n(x)-0|=0\) gilt.
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