Es geht unter anderem um gleichmäßige Konvergenz

Aufrufe: 462     Aktiv: 12.05.2022 um 09:32
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a)Sei (X,d) ein metrischer Raum. Auf dem Vektrorraum
                                      B(X):= {f : X nach R : f beschränkt }  kann man eine natürlich Norm definieren:
                      || . || unendl. : B(X) nach R,  || f || unedl. := sup xeX |f(x)|.

Seien (fn) Teilm. von B(X) und feB(X). Zeigen Sie: die Funktionenfolge (fn) konvergiert gleichmäßig gegen f genau dann, wenn lim n gegen unendl. ||fn - f|| unendl. = 0.

b) Zeigen Sie: die Funktionen folge (fn)neN,
                                              
                                       fn : [-1,1] nach R, fn(x) =  x/(1+nx^2)

Meine Fragen, mir ist der Begriff Funktionenfolge nicht klar, der Begriff der Funktion dagen schon. Bei a) geht es in dem metrischen Raum (X,d) um eine Funktion B(X), die wie oben definiert ist. Wie ist f beschränkt zu verstehen, klingt vielleicht navi, möglicherweise ist es ein Hinweis der mir hilft. Was heißt " natürliche Norm ". Gleichmäßige Konvergenz versuche ich mit Blick auf eine Konvergenz zu einem Grenzwert zu verstehen. Dann müsste gleichmäßige Konvergenz immer konvergent sein. Wie muß ich mir das vorstellen.
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Eigentlich müsstet ihr Funktionenfolgen vorher schon gemacht haben, sonst macht Aufgabe wenig Sinn, da du ja für a) eine Definition (mit Epsilon) brauchst.   ─   mathejean 11.05.2022 um 09:46
Das kann sein, mir ist es trotzdem nicht wirklich klar im Moment.   ─   atideva 11.05.2022 um 10:13
Findest du sowas für gleichmäßige Konvergenz in deinen Unterlagen: \(\forall \varepsilon >0 \ \exists N\in \mathbb{N}: d(f_n(x),f(x))< \varepsilon \ \forall n\geq N, \forall x \in X\). Eventuell habt ihr sowas in Analysis 1 gemacht, ohne Metriken. Wenn du noch nie gesehen hast ist Aufgabe schwierig zu sagen   ─   mathejean 11.05.2022 um 10:56
Was mir noch nicht klar ist, das ist bei d(fn(x),f(x)). das ist dieser Teil der Definition. Ich komme mit dem fn nach der 1. Klammer nicht klar, (fn(x)).   ─   atideva 11.05.2022 um 12:45
Ja, genau, dass ist eine Funktionenfolge. Wurde das denn wirklich nicht (vielleicht in Analysis 1) behandelt?   ─   mathejean 11.05.2022 um 15:34
Das würde sicher in Ana1 behandelt, allerdings habe das 1.semester an der Fernuni gehabt und da kam es nicht dran. Ich habe mir jetzt schon Definitionen und Bespiele im Internet angeschaut, aber es ist mir noch nicht klar.   ─   atideva 11.05.2022 um 16:38
Ja, das Problem ist, das ich es dir nicht schnell erklären kann und wenn das Thema neu ist braucht man auch vielleicht 1-2 Tage um erstmal Thema zu verstehen.   ─   mathejean 11.05.2022 um 17:00
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Das eine Missverständnis iist, dass B(X) eine funktion wäre... das ist falsch!  B(X) ist die Menge aller Funktionen von X in die reellen Zahlen, die beschränkt sind.

Wenn das $X$ z.B. auch R wäre (muss es aber nicht), dann wären z.b. $f(x)=x$ und $f(x)=1/x$ beide nicht enthalten. Wäre aber X nur das Intervall $[-1;1]$, dann wäre $f(x)=x$ doch in $B(X)$.

Für gleichmäßige Konvergenz versus nicht-gleichmäßiger Konvergenz schaue dir die Funktionenfolge $f_n(x)=x^n$ im offenen Intervall $(0;1)$ an: letztlich konvergiert die Folge für jedes x in dem Intervall gegen 0, aber aufs ganze Intervall $(0;1)$ bezogen, herrscht keine gleichmäßige Konvergenz vor.

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\(B: X \to \mathrm{Abb(X,\mathbb{R})}, X\mapsto B(X):=\{f\in \mathrm{Abb}(X, \mathbb{R}): f \ \mathrm{beschraenkt}\}\)   ─   mathejean 12.05.2022 um 09:32

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