Unterschied Inneres und Relativ Inneres?

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Schönen guten Abend 🎄

Und zwar beschäftige ich mich gerade mit Optimierung und versuche herauszufinden, was der Unterschied vom Inneren einer Menge und dem Relativ Innerem ist... kann mir vielleicht bitte jemand anhand eines anschaulichen Beispiels den Unterschied erklären? 

gefragt 1 Monat, 2 Wochen her
karamellkatze
Student, Punkte: 86

 
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2 Antworten
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Nemen wir als topologischen Raum z.B. den \(\mathbb{R}^2\) und betrachten die Menge \[A:=\{(t,0):t\in[0,1]\}=[0,1]\times\{0\}.\] Das Innere dieser Menge in der Topologie von \(\mathbb{R}^2\) ist leer, also \(\mathrm{int} A=\varnothing\).  Wenn man aber jetzt die Teilmenge \(B:=\mathbb{R}\times\{0\}\) mit der von \(\mathbb{R}^2\) induzierten Topologie betrachtet, dann gilt \(A\subseteq B\), und das Innere von \(A\) relativ zu \(B\) ist \(\mathrm{int}_BA=(0,1)\times\{0\}\).

Hilft das?

geantwortet 1 Monat, 2 Wochen her
slanack
Lehrer/Professor, Punkte: 2.96K
 
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Hey,

einen inneren Punkt einer Menge \( M \) definierst du ja, in dem eine \( \epsilon \)-Umgebung \( U_\epsilon \) existiert (\( \epsilon > 0 \) beliebig), die wiederum Teilmenge der Menge ist. Bei relativ inneren Punkten schneidest du nun diese Umgebung um den Punkt mit der affinen Hülle deiner Menge \( M \) und diese Schnittmenge muss nun wiederum Teilmenge von \( M \) sein.

Ich denke am besten kann man sich das an einem 3 dimensionalen Quader/Würfel veranschaulichen, was der Unterschied ist:

  • Punkte im inneren des Quaders sind auch relativ innere Punkte
  • Punkte auf der Seitenfläche eines Quaders sind keine inneren Punkte (da ja ein Teil von der Umgebung außerhalb des Quaders liegt), jedoch sind es relativ innere Punkte der jeweiligen Seitenfläche.
  • Punkte auf den Kanten des Quaders (abgesehen von den Ecken) sind relativ innere Punkte der Kante, aber nicht von der Seitenfläche
  • Die Eckpunkte sind gar keine relativ inneren Punkte

Ich hoffe anhand des Beispiels wird die Unterscheidung klar.

VG
Stefan

 

geantwortet 1 Monat, 2 Wochen her
el_stefano
M.Sc., Punkte: 5.5K
 
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