Nemen wir als topologischen Raum z.B. den \(\mathbb{R}^2\) und betrachten die Menge \[A:=\{(t,0):t\in[0,1]\}=[0,1]\times\{0\}.\] Das Innere dieser Menge in der Topologie von \(\mathbb{R}^2\) ist leer, also \(\mathrm{int} A=\varnothing\).  Wenn man aber jetzt die Teilmenge \(B:=\mathbb{R}\times\{0\}\) mit der von \(\mathbb{R}^2\) induzierten Topologie betrachtet, dann gilt \(A\subseteq B\), und das Innere von \(A\) relativ zu \(B\) ist \(\mathrm{int}_BA=(0,1)\times\{0\}\).

Hilft das?

Hey,

einen inneren Punkt einer Menge \( M \) definierst du ja, in dem eine \( \epsilon \)-Umgebung \( U_\epsilon \) existiert (\( \epsilon > 0 \) beliebig), die wiederum Teilmenge der Menge ist. Bei relativ inneren Punkten schneidest du nun diese Umgebung um den Punkt mit der affinen Hülle deiner Menge \( M \) und diese Schnittmenge muss nun wiederum Teilmenge von \( M \) sein.

Ich denke am besten kann man sich das an einem 3 dimensionalen Quader/Würfel veranschaulichen, was der Unterschied ist:

• Punkte im inneren des Quaders sind auch relativ innere Punkte
• Punkte auf der Seitenfläche eines Quaders sind keine inneren Punkte (da ja ein Teil von der Umgebung außerhalb des Quaders liegt), jedoch sind es relativ innere Punkte der jeweiligen Seitenfläche.
• Punkte auf den Kanten des Quaders (abgesehen von den Ecken) sind relativ innere Punkte der Kante, aber nicht von der Seitenfläche
• Die Eckpunkte sind gar keine relativ inneren Punkte

Ich hoffe anhand des Beispiels wird die Unterscheidung klar.

VG
Stefan