Unterschied Inneres und Relativ Inneres?

Aufrufe: 963     Aktiv: 17.05.2021 um 09:31

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Schönen guten Abend 🎄

Und zwar beschäftige ich mich gerade mit Optimierung und versuche herauszufinden, was der Unterschied vom Inneren einer Menge und dem Relativ Innerem ist... kann mir vielleicht bitte jemand anhand eines anschaulichen Beispiels den Unterschied erklären? 

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Student, Punkte: 86

 
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Nemen wir als topologischen Raum z.B. den \(\mathbb{R}^2\) und betrachten die Menge \[A:=\{(t,0):t\in[0,1]\}=[0,1]\times\{0\}.\] Das Innere dieser Menge in der Topologie von \(\mathbb{R}^2\) ist leer, also \(\mathrm{int} A=\varnothing\).  Wenn man aber jetzt die Teilmenge \(B:=\mathbb{R}\times\{0\}\) mit der von \(\mathbb{R}^2\) induzierten Topologie betrachtet, dann gilt \(A\subseteq B\), und das Innere von \(A\) relativ zu \(B\) ist \(\mathrm{int}_BA=(0,1)\times\{0\}\).

Hilft das?

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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 

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Hey,

einen inneren Punkt einer Menge \( M \) definierst du ja, in dem eine \( \epsilon \)-Umgebung \( U_\epsilon \) existiert (\( \epsilon > 0 \) beliebig), die wiederum Teilmenge der Menge ist. Bei relativ inneren Punkten schneidest du nun diese Umgebung um den Punkt mit der affinen Hülle deiner Menge \( M \) und diese Schnittmenge muss nun wiederum Teilmenge von \( M \) sein.

Ich denke am besten kann man sich das an einem 3 dimensionalen Quader/Würfel veranschaulichen, was der Unterschied ist:

  • Punkte im inneren des Quaders sind auch relativ innere Punkte
  • Punkte auf der Seitenfläche eines Quaders sind keine inneren Punkte (da ja ein Teil von der Umgebung außerhalb des Quaders liegt), jedoch sind es relativ innere Punkte der jeweiligen Seitenfläche.
  • Punkte auf den Kanten des Quaders (abgesehen von den Ecken) sind relativ innere Punkte der Kante, aber nicht von der Seitenfläche
  • Die Eckpunkte sind gar keine relativ inneren Punkte

Ich hoffe anhand des Beispiels wird die Unterscheidung klar.

VG
Stefan

 

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M.Sc., Punkte: 6.68K

 

Magst du nochmal erläutern, warum in deinem Bsp. die Kantenpunkte bzgl. der Seitenflächen und die Eckpunkte keine relativen inneren Punkte sind?
  ─   nike 14.05.2021 um 17:01

Wenn du die Kantenpunkte bezüglich der 2 dimensionalen Seitenfläche betrachtest, dann kannst du dir überlegen, dass ein Teil der Umgebung dieses Punktes (stell es dir hier als Kreis mit Radius \( \epsilon \) um den Punkt auf der Kante der Seitenfläche vor) außerhalb der Seitenfläche liegt und somit die Bedingung eines inneren Punktes verletzt ist.

Eine ähnliche Argumentation greift bei den Eckpunkten, nur dass du hier die Ecke bezüglich der 1-dimensionalen Kante betrachtest. Wenn du jetzt aber eine Umgebung, um den Eckpunkt bezüglich 1-dimensionalen Kante betrachtest (diese Umgebung ist ein Intervall auf der 1-dimensionalen Kante), dann liegt auch hier ein Teil der Umgebung außerhalb der Kante und somit kann der Eckpunkt kein relativ innerer Punkt bezpglich dieser Kante sein.
  ─   el_stefano 17.05.2021 um 09:31

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