Quotientenmenge

Aufrufe: 185     Aktiv: 11.12.2023 um 19:37

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Ich habe folgendes Problem. Für eine Aufgabe sollte ich zunächst die kleinste Äquivalenzrelation für R auf M für die
die Mengen: {1,2,3,4,5,6} und R1: {(3,3), (1,2), (5,2), 3,6)} aufstellen, wobei R1 eine Teilmenge von R ist.
Zunächst würde ich erstmal wissen ob das überhaupt stimmt.
Als zweites soll ich dann die Quotientenmenge M/R durch Aufzählen ihrer Elemente angeben.
Hierbei fällt mir überhaupt nichts ein. Ein kleiner Schubs in die richtige Richtung wäre super.

EDIT vom 10.12.2023 um 19:41:


so

EDIT vom 10.12.2023 um 19:56:



Stimmt das, mit der Quotientenmenge so also?
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1 Antwort
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R darf schon mal nicht die leere Menge \(\emptyset\) enthalten, denn R darf - als Relation von M - nur Paare enthalten, die aus jeweils zwei Elementen aus M bestehen.

Bei dieser Aufgabe sind die 3 Pflicht-Eigenschaften für Äquivalenzrelationen zu beachten:
1) reflexiv: \((m,m)\in R\) für alle \(m\in M\). Dieses Gesetz erfüllt Dein R.
2) symmetrisch: \((m,n)\in R\Rightarrow(n,m)\in R\). Dieses Gesetz erfüllt Dein R.
3) transitiv: \((m,n)\in R\) und \((n,x)\in R\)   \(\Rightarrow\)   \((m,x)\in R\). Dieses Gesetz erfüllt Dein R nicht. Wenn z.B. (1,2) und (2,5) in R ist, dann muss auch (1,5) in R sein. Also musst Du noch R um dieses Element erweitern.

Wenn aber (1,5) in R ist, so muss auch (5,1) in R sein - wegen Eigenschaft 2). Das kann dann aber wieder weitere Elemente nach sich ziehen usw.
Du musst also immer wieder Regel 1)-3) durchgehen und prüfen, ob weitere Elemente aufgenommen werden müssen - solange, bis R eine Äquivalenzrelation ist.

Der Ausdruck M/R ist die Menge der Äquivalenzklassen. Die kann man wie folgt bestimmen:
1. Setze X=M
2. Wähle ein \(x\in X\)
3. Bestimme alle Elemente, die äquivalent zu x sind. Das ergibt eine neue Äquivalenzklasse K.
4. Streiche alle Elemente von K aus X
5. Wenn X nicht leer, zurück nach 2
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Ok, habs jetzt nochmal so geändert. Ist R jetzt eine Äquivalenzrelation, bzw. die kleinste.   ─   user0a984e 10.12.2023 um 19:40

ok, ich hab (2,6) und (6,2) vergessen. Habe ich schon geändert. Nur ich oben im Bild. Bitte ignorieren   ─   user0a984e 10.12.2023 um 19:47

Jetzt hast Du zuviele Elemente in Deinem R. (3,1), (1,3), (3,2), (2,3), (3,5), (5,3) (6,5), (5,6) sind zu viel.
Die Äquivalenzklassen hast Du falsch gebildet:
Wenn Du z.B. [1] ausrechnen willst, musst Du alle x finden, für die (1,x) in R ist.
(1,1) ist in R, also ist 1 in R.
(1,2) ist in R, also ist 2 in R.
(1,3) ist NICHT in R, also ist 3 nicht in R
(1,4) ist NICHT in R, also ist 4 nicht in R
(1,5) ist in R, also ist 5 in R
(1,6) ist in NICHT R, also ist 5 in nicht R.
Also ist [1] = {1,2,5}.
Damit hast Du auch [2] und [5]: [1]=[2]=[5].
Dann musst Du [3], [4] und [6] nach dem gleichen Schema ausrechnen
  ─   m.simon.539 10.12.2023 um 21:42

Ok. Ich verstehe jetzt nur nicht, warum (1,5) und (5,1) in R sind, z.B. (1,3) und (3,1) aber nicht. Könntest du mir das erklären?   ─   user0a984e 10.12.2023 um 22:56

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(5,2) ist in R, also auch (2,5).
Außerdem ist (1,2) in R. Wenn (1,2) und (2,5) in R, dann ist auch (1,5) in R.
Und dann ist auch (5,1) in R.
  ─   m.simon.539 11.12.2023 um 19:37

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