Beim Induktionsanfang wurde gezeigt, dass die Gleichung für ein konkretes n, nämlich $n=0$ gilt. Jetzt wollen wir zeigen, dass aus der Tatsache, dass die Gleichung für ein beliebiges n gilt, auch die Gleichung n+1 und somit für alle n gilt, die größer gleich dem Induktionsanfang sind (in unserem Fall also $\mathbb{N_0}$). Die Rechnung ist nicht besonders kompliziert, man untersucht die Summe für n+1, also $$\sum\limits_{k=0}^{2(n+1)}3k=\sum\limits_{k=0}^{2n+2}3k=\sum\limits_{k=0}^{2n}3k+\sum\limits_{2n+1}^{2n+2}3k\overset{\mathrm{IV}}{=}3n(2n+1)+3(2n+1)+3(2n+2)=6n^2+3n+6n+3+6n+6=6n^2+15n+9=(3n+3)(2n+3)$$Der letzte Ausdruck entspricht gerade $3(n+1)*(2(n+1)+1)$, also gerade das, was wir zeigen wollten.