Vollständige Induktion mit Summenzeichen von k= 0 bis 2n.

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Servus an die Community,
morgen steht die Matheklausur für Wirtschaftsinformatiker an und natürlich auch die allseits beliebte vollständige Induktion. 
Diese habe ich auch komplett verstanden (auch wenn ich oft nicht auf das richtige Ergebnis komme).
Jedoch habe ich jetzt eine Summen-Aufgabe von k = 0 bis 2n entdeckt und diese verstehe ich überhaupt nicht. 
Unten findet ihr die Angabe und die Lösung vom Tutorium. 

Angabe:


Lösung:


Ich verstehe den Induktionsschluss überhaupt nicht.


Vielen Dank im Voraus.
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Beim Induktionsanfang wurde gezeigt, dass die Gleichung für ein konkretes n, nämlich $n=0$ gilt. Jetzt wollen wir zeigen, dass aus der Tatsache, dass die Gleichung für ein beliebiges n gilt, auch die Gleichung n+1 und somit für alle n gilt, die größer gleich dem Induktionsanfang sind (in unserem Fall also $\mathbb{N_0}$). Die Rechnung ist nicht besonders kompliziert, man untersucht die Summe für n+1, also $$\sum\limits_{k=0}^{2(n+1)}3k=\sum\limits_{k=0}^{2n+2}3k=\sum\limits_{k=0}^{2n}3k+\sum\limits_{2n+1}^{2n+2}3k\overset{\mathrm{IV}}{=}3n(2n+1)+3(2n+1)+3(2n+2)=6n^2+3n+6n+3+6n+6=6n^2+15n+9=(3n+3)(2n+3)$$Der letzte Ausdruck entspricht gerade $3(n+1)*(2(n+1)+1)$, also gerade das, was wir zeigen wollten.
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