Differenzengleichungen - Logik (Beispielbezogen)

Aufrufe: 65     Aktiv: 09.02.2021 um 09:52

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Allgemein verstehe ich den Sinn von Differenzengleichungen - man beginnt bei einem Startwert x0 der wird dann jeweils auf die Folgeglieder übertragen in der Form := a(n+1)= Rechenhülle von (n+1)*+-/an, sodass das vorige immer auf das nächste übergeleitet wird.
Also z.B. die Summe von 5 (Endbedingung n)
no = 0
a(n+1)= an + 1 (solange n + 1 <= 5)

Allgemeine verstehe ich jedoch dies beispielbezogen bei den Türmen von Hanoi nicht => a(n+1)= 2 * an + 1 (1 repräsentiert die unterste Scheibe, die einen Zug benötigt) => wie bekommt man dafür das Gefühl, dass hierbei eine Differenzengleichung erforderlich ist? Allgemein könnte man ja genauso gut sagen: a(8) = 2 * (8 - 1) + 1  (die obersten n - 1 Scheiben müssen verschoben werden => und das zweimal)
Oder funktioniert der Algorithmus so: Löse für die a(n+1) = z.B. a(1) = 2 * (a(n-1)) + 1=> a(1) = 1 (Löse das Teilproblem gehe zum nächsten, operiere mit Teilproblem) bis Endproblem (a (n= gewünschte Scheiben)) erreicht ist?
Weiters kann dies zusammengefasst werden zu: 2^(n) - 1 ist das die explizite Darstellung der Differenzengleichung (somit keine Differenzengleichung), gleich wie wenn man z.B. die Summe rekursiv löst (n) + (n-1) durch die Gauß'Summe (die wiederrum nicht rekursiv ist n * (n+1)/(2)) dargestellt werden kann?


Weiß nicht, ob mir da wer helfen könnte, würde mir auf jeden Fall weiterhelfen, das Ganze besser zu verstehen, danke schon mal :)
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Hallo, bin mir grad nicht sicher, ob ich dich richtig verstehe.

Ich versuche mal kurz das Thema zu erklären :)

Du scheinst ja den Unterschied zwischen rekursiven Folgen und expliziten Folgen zu kennen. Das Besipiel Turm von Hanoi ist super dafür!
Rekursiv bzw. Differenzengleichung (beginne vorne und arbeite dich rekursiv vor):
Wenn du dieses Experiment machst, fängst du ja bei der ersten Scheibe an und arbeitest dich weiter vor. Du kennst also am Anfang noch keine Formel, aber wohl die rekursive Darstellung:

\(a_1 =1\)
\(a_2 = 2\cdot a_1 +1 = 2\cdot 1+1 = 3\)
\(a_3= \ldots=7\)

Explizit (du musst nur den n-ten Wert einsetzen). Aus deinen Beobachtungen kannst du dann versuchen eine expilizte Formel herzuleiten.
\(a_n=2^n-1\)
\(a_3 = 2^3-1=8-1=7\)

Hilft dir das schon? Sonst gern nochmal genauer nachfragen! :)

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Ich habe zwar eine konkrete Frage nicht verstehen können, trotzdem versuche ich dir mal einen Überblick über Differenzen-/Rekursionsgleichungen zu geben. Wie math stories bereits gezeigt hat, kann man Folgen rekursiv definieren. Hier definistiert du, dass \(n\)-te Folgenglied mit Hilfe der vorherigen Folgenglieder. Die Ordnung der Rekursionsgleichung gibt dabei an, über wie viele Folgenglieder das \(n\)-te Folgenglied definiert. Im Beispiel von math stories hast du beispielsweise eine Rekursionsgleichung erster Ordnung. Ein weiteres bekanntes Beispiel sind die Fibonnaci Zahlen, hier werden die Folgenglieder mithilfe von zwei vorherigen Folgengliedern gebildet, sodass hier eine Rekursion zweiter Ordnung vorliegt. Es gibt aber auch Rekursion mit \((n-1)\)-ter Ordnung, wo das jeweilige Folgenglied über alle seine Vorgänger definiert wird. Die Art, wie die jeweiligen vorherigen Folgenglieder dabei verknüpft werden spielt dabei auch eine wesentliche Rolle. Beim Beispiel von math stories handelt es sich um eine lineare Differenzengleichung erster Ordnung, auch die Folge der Fibonnaci zahlen ist mit üblicher Definition linear. Lineare Differenzengleichungen sind dabei besonders interessant, da sie sehr einfach zu lösen sind. Hast du beispielsweise bereits zwei Lösungen \(\Omega_1, \Omega_2\) einer homogenen Differenzengleichung, so sind auch alle linear Kombinationen eine Lösung dieser homogenen Differenzengleichung. Hast du hingegen zwei Lösungen \(\Sigma_1, \Sigma_2\) einer inhomogenen Differenzengleichung, so ist \(\Omega := \Sigma_1 - \Sigma_2\) eine Lösung der zugehörigen homogen Differenzengleichung. Hast du allerdings eine homogene Lösung \(\Omega\) einer Differenzengleichung und eine inhomogene Lösung \(\Sigma\) der Differenzengleichung, so erhälst du alle inhomogenen Gleichungen mit \(\Sigma^* =\Sigma + \lambda \cdot \Omega\).
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