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Kann mir jemand weiterhelfen? Ich stehe auf dem Schlauch..
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Dann würde die Aussage lauten:" Gibt es in einer Herde mit 2 Schafen ein schwarzes Schaf, dann sind alle 2 Schafe schwarz." Der Fehler liegt ja dann schon im Beweis?
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robse
11.11.2020 um 14:18
Nein, ich meine: Welches der Argumente im Induktionsteil des Beweises ist falsch, wenn \(N=1\) ist. Es reicht nicht, nur zu sagen, dass die Gesamtaussage dann falsch ist. Du musst die Argumente einzeln durchgehen und prüfen, ob sie korrekt sind, wenn \(N=1\) gilt.
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slanack
11.11.2020 um 15:14
Ah in diesem Fall ist der induktionsschritt also fehlerhaft bzw. nicht vorhanden? Ich verstehe es jetzt so: Es wurde für n+1 gezeigt das es stimmt Abe unter der Annahme das die Annahme stimmt. Alsp hab ich in schrittm1 das vorausgesetzt was ich beweisen will?
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robse
11.11.2020 um 15:48
Ja, für \(N\ge2\) sind die Argumente im Induktionsschritt korrekt, nur im Fall \(N=1\) nicht. Hast Du schon herausgefunden, welches Argument dann falsch ist? Diese Antwort fehlt noch.
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slanack
11.11.2020 um 15:59
Das Argument: „Dann können wir in einer Herde aus N + 1 Schafen eine Unterherde aus N Schafen auswählen, welche das schwarze Schaf enthält.“
Diese Aussage setzt ja voraus das es 2 unterschiedliche Mengen gibt das muss ich jedoch zuerst beweisen? ─ robse 11.11.2020 um 16:49
Diese Aussage setzt ja voraus das es 2 unterschiedliche Mengen gibt das muss ich jedoch zuerst beweisen? ─ robse 11.11.2020 um 16:49
Setze mal konkret \(N=1\), nur in diesem Fall tritt das Problem auf. Man kann aus einer Herde von zwei Schafen, von denen eines schwarz ist, eine Unterherde mit einem Schaf auswählen, die ein schwarzes Schaf enthält. Dieser Teil stimmt also.
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slanack
11.11.2020 um 17:26
Demnach muss der Fehler im zweiten Teil liegen.
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slanack
11.11.2020 um 17:28
Wenn ich N=1 setzte besteht die Gruppe aus einem Schaf. Es wurde jedoch vorausgesetzt das die Gruppe mindestens 2 Schafe enthält.
Habe ich das jetzt richtig erkannt ? ─ robse 11.11.2020 um 17:57
Habe ich das jetzt richtig erkannt ? ─ robse 11.11.2020 um 17:57
Nein, das ist es nicht. Hier geht es um den Induktionsschritt \(1\to2\). Du hast also zwei Schafe, und eines ist schwarz. Der erste Teil des Induktionsschrittes ist richtig. Der zweite stimmt nicht. Warum?
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slanack
11.11.2020 um 18:27
Ich geh es jetzt nochmal für n=1 durch
Man hat eine Gruppe von Schafen die aus einem Schaf besteht und das zusätzliche Schaf.
Die Gruppe hat dann natürlich die gleiche Farbe.
Dann tauscht man das zusätzliche Schaf durch das Schaf in der Gruppe. Dafür gibts ja dann nur eine Möglichkeit und die Schafe werden einfach getauscht. Die neue Gruppe aus einem Schaf hat wieder die gleiche Farbe.
Der Tausch der Schafe war jetzt aber nicht notwendig (die Gruppen haben sich ja nicht überschnitten)
Also ist der Schritt von 1 auf 2 deswegen falsch? ─ robse 11.11.2020 um 19:49
Man hat eine Gruppe von Schafen die aus einem Schaf besteht und das zusätzliche Schaf.
Die Gruppe hat dann natürlich die gleiche Farbe.
Dann tauscht man das zusätzliche Schaf durch das Schaf in der Gruppe. Dafür gibts ja dann nur eine Möglichkeit und die Schafe werden einfach getauscht. Die neue Gruppe aus einem Schaf hat wieder die gleiche Farbe.
Der Tausch der Schafe war jetzt aber nicht notwendig (die Gruppen haben sich ja nicht überschnitten)
Also ist der Schritt von 1 auf 2 deswegen falsch? ─ robse 11.11.2020 um 19:49
Ich verstehe zwar nicht ganz, was Du mit tauschen meinst, aber ich würde sagen, Du bist nah dran. Ich erkläre jetzt, wie ich es schreiben würde: Wir haben eine Herde von zwei Schafen, und eines ist schwarz. Wir wollen zeigen, dass dann beide schwarz sind. Das Argument im "Beweis" geht so: Wähle eine Unterherde der Mächtigkeit \(1\) so aus, dass sie das schwarze Schaf A enthält. Nach Induktionsvoraussetzung sind dann alle Schafe in dieser ersten Unterherde schwarz (das ist eh klar). Wähle jetzt eine Unterherde der Mächtigkeit \(1\) so aus, dass sie das übrige Schaf B enthält (dessen Farbe wir noch nicht kennen). In dieser Menge sind alle Schafe außer B schwarz, das haben wir eben schon gezeigt. Also enthält diese Untermenge ein schwarzes Schaf und muss nach Induktionsvoraussetzung ganz aus schwarzen Schafen bestehen. Das ist offensichtlich falsch, der Fehler liegt darin, dass der Schluss "alle Schafe außer B sind schwarz" \(\Rightarrow\) "es gibt ein schwarzes Schaf in der zweiten Unterherde" nicht zulässig ist. Klar geworden?
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slanack
11.11.2020 um 20:45