Es geht um eine DGL

Aufrufe: 256     Aktiv: 16.10.2023 um 12:12

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Für welche Konstante \(\alpha\) löst die Funktion X: \(\mathbb{R}\)--> \(\mathbb{R}\)^\({2}\), X(t)=(x(t),y(t))=(cos(\(\alpha\)t)+3sin(\(\alpha\)t), cos\(\alpha\))+5sin(\(\alpha\)t)) die folgenden Differentialgleichungen?  x\('\)=16x-10y, , y\('\)=26x-16y. Meine Frage bezieht sich zunächst auf (cos(\(\alpha\)t)+3sin(\(\alpha\)t)...da ich damit im Moment nicht klar komme. Spielen da die Additionstheorem eine Rolle, und welche genau? Kann mir da jemand genauere Hinweise geben, denn bis jetzt komme ich mit der Funktion X(t)=(x(t),y(t))...erstmal nicht klar.
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Einfach mal einsetzen und ausrechnen   ─   fix 15.10.2023 um 22:33

Da die cos Funktion hier lediglich die verschobene Schwingung ohne Streckung und Stauchung darstellt, die sind Funktion einmal mit 3 und dann mit 5 gestreckt ist, ist mir nicht klar, was ich hier konkret einsetzen soll, klingt vielleicht komisch, ist aber bei mir Stand der Dinge.   ─   atideva 15.10.2023 um 22:41

In Deiner Frage steht in der Formel für X der Term "\(\cos \alpha)\)". Ich nehme an, dieser Term muss "\(\cos (\alpha t)\)" heißen.
Wenn dem so ist, brauchst Du keine Additionstheoreme, und Du brauchst Dich um irgendwelche Phasenverschiebungen nicht zu kümmern.
Einfach, wie gesagt, x(t) und y(t) in die erste DLG, also \(\dot{x} = 16x-10y\) einsetzen, und durch "Draufstarren" ein \(\alpha\) so bestimmen, dass die DLG gilt.
Dann dieses \(\alpha\), x(t) und y(t) in die zweite DLG einsetzen und sich dran freuen, dass diese dann auch gilt.
  ─   m.simon.539 15.10.2023 um 23:48

Zunächst eine kleine Korrektur. Bei meiner Eingangsfrage muss es beim zweiten cos muss es statt cos \(\alpha\) cos (\(\alpha\)t) heißen. Die Aufgabe stammt von einer VL gewöhnliche DIfferentialgleichungen. Da ich den Kurs auch an der Fernuni belegt habe, habe ich dort ebenfalls nachgefragt. Die Antwort war wie folgt: Ich habe x(t) und y(t) bereits gegeben. Ich könnte zunächst die Ableitungen bilden, er meinte, dass mit x^' hier x^'(t) und mit y^' dann y^'(t) gemeint sei. Diese Ableitungen würden von der Form A cos (\(\alpha\)t)+ B sin (\(\alpha\)t) sein, wobei A und B jeweils Ausdrücke sind, wo \(\alpha\) drin vorkommt. Dann sollte ich x^', y^', x, y in die jeweiligen Differentialgleichungen einsetzten. Die Gleichungen wären dann erfüllt, wenn ich \(\alpha\) so wählen könnte, dass links und rechts vom Gleichheitszeichen jeweils die gleichen Koeffizienten vor den Kosinus Funktionen stehen bzw Gleichheit bei den Koeffizienten für die Sinus Funktion vorliegen würden. Dann habe ich das mit cos (\(\alpha\)t) + 3sin( \(\alpha\)t).. gesehen und mir war bzw. ist nicht klar, wie ich jetzt hier genau die Ableitungen bilden sollte. Und trotz zweier Antworten komme ich noch immer nicht weiter.   ─   atideva 16.10.2023 um 08:31

Nutze die Kettenregel. Die Ableitung trigonometrischer Funktionen sollte man kennen. Wenn nicht, schlägt man sie nach.   ─   cauchy 16.10.2023 um 12:12
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