Stetigkeit für lineare Abbildung mit stochastischer Matrix

Aufrufe: 308     Aktiv: 12.10.2022 um 11:49

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Guten Abend,

ich möchte gerne zeigen, dass folgende lineare Abbildung stetig ist bzw. die folgenden beiden Aufgaben lösen. Es geht um eine stochastische $N$ x $N$ Matrix $A$ und um die Abbildung
$$A x=x$$
zumindest denke ich es. Ich möchte nämlich den Beweis 1.6 aus dem Buch https://doi.org/10.1007/978-3-319-27978-7 nachvollziehen. 


Die erste Aufgabe müsste ja einfach: 


sein, oder?


Also betrachte ich einfach beliebige x,y und 



Ich frage mich nun, wie ich die  Stetigkeit zeigen kann. Muss ich dazu das Epsilon-Delta Kriterium anwenden? Ich bin ein wenig durch die induzierten Normen verwirrt und weiß nicht, womit ich anfangen muss.
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Mit der letzten Ungleichung wir haben Lipschitzstetigkeit. Übrigens in endlich dimensional es ist jede lineare Abb stetig
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$Ax=x$ ist keine Abbildung, sondern eine Gleichung. Hier geht es um die Abbildung $f(x)=Ax$ und dann um die Stetigkeit von $f$.
"Die erste Aufgabe müsste dann...": Meinst Du die Lösung zu Exercise 1.5? Ob das die Lösung ist, hängt davon ab, ob die Eigenschaft $\|Ax\|\le \|A\|\cdot \|x\|$ bekannt ist und ob man weiss, dass $\|A\|_1=1$ für stochastische Matrizen gilt.
Zu Exercise 1.6: Es ist in der Formulierung unklar, ob $A$ auch hier eine stochastische Matrix sein soll. Wenn ja, dann kannst Du in der 1-Norm so vorgehen wie Du es gemacht hast. Zur 2-Norm muss man anders vorgehen - wie, hängt davon ab, welche Eigenschaften über die Normen bekannt sind.

Warum versuchst Du diese Dinge über ein (englischsprachiges) Buch über Fixpunkttheorie zu lernen? Diese Dinge findest Du in vielen (deutschsprachigen) Büchern über lineare Algebra, Numerik, Höhere Mathe.
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