Integral lösen

Aufrufe: 85     Aktiv: 22.02.2021 um 12:24

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Wie löse ich diesen Integral? Ich habe zwar die Stammfunktion, aber irgendwie kommt bei mir immer 0 raus. Das ist wohl falsch.

Danke im Voraus!
Quelle: Lambacher Schweizer-Kursstufe
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Schüler, Punkte: 37

bevedoni, bearbeitet vor langer Zeit

 

Hast du denn schonmal den Graphen der Funktion skizziert?   ─   stal 18.02.2021 um 11:43

Wie lautet denn deine Stammfunktion? 0 ist nicht richtig, da hast du recht.   ─   1+2=3 18.02.2021 um 11:44

Als Stammfunktion habe ich:
-2/6x (1-x^2)^3/2
  ─   alin 18.02.2021 um 11:51

Den Graphen habe ich mir auf Geogebra angeschaut. Es ist ein Halbkreis. Es sagt mir aber nichts.   ─   alin 18.02.2021 um 11:52

Dass die Stammfunktion nicht stimmt kannst du schnell sehen, wenn du die Stammfunktion ableitest. Du solltest dann ja wieder auf die Ausgangsfunktion kommen, das ist hier nicht der Fall.   ─   1+2=3 18.02.2021 um 11:55

Wenn du weißt, dass das ein Halbkreis ist, dann ist die Fläche zwischen 0 und 1 ein Viertelkreis. Dann kannst du einfach die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises benutzen, um das Integral zu bestimmen.   ─   stal 18.02.2021 um 11:56

Alles klar! Ich versuch es   ─   alin 18.02.2021 um 12:22

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2 Antworten
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Falls das Integral auch rechnerisch bestimmt werden soll, bietet sich die Substitution an. Man sollte so substituieren, dass die Wurzel "verschwindet". Da es um einen Kreis geht, könnte man eine Winkelfunktion in Betrach ziehen. Überlege doch einmal welche. Tipp: Winkelpythagoras!
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Die Antwort wurde bereits gegeben, es handelt sich um einen Halbkreis,
ein weiterer Hinweis wurde gegeben im Zusammenhang mit der Trigonometrie und dem Pythagoras:

\(sin^2(\varphi)+cos^2(\varphi)=1\)... trigonometrischer Pythagoras, das ist der Schlüssel.
Es handelt sich um die Kreisgleichung: \(x^2+y^2=r^2\) wobei \(r=1\)

Betrachtet wird aber nur die obere Kreislinie im Intervall \(0\leq x\leq 1\) somit ein Viertelkreis.
Erwartungsgemäß ist die Formel eines Viertelkreises \(A=\frac{r^2\cdot\pi}{4}\) also für \(r=1 \Rightarrow A=\frac{\pi}{4}\).

Mithilfe einer geeigneten Substitution sollten wir das Integral lösen können und das selbe Resultat erhalten:
Für die obere Einheitskreislinie gilt: \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\)

Setze nun \(x(\varphi)=\sin(\varphi)\Rightarrow \frac{dx}{d\varphi}=\cos(\varphi)\Rightarrow dx=\cos(\varphi)d\varphi\)
Außerdem gilt mit dem obens erwähnten trigonometrischen Pythagoras:
\(\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2(\varphi)}=\cos(\varphi)\)

Außerdem müssen die neuen Grenzen bei der Substitution beachtet werden:
\(x=\sin(\varphi)\Leftrightarrow \arcsin(x)=\varphi\) sofern \(\varphi\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
Somit gilt \(\varphi_0=\arcsin(x=0)=0\) und \(\varphi_1=\arcsin(1)=\frac{\pi}{2}\)

Jetzt kann das Integral transformiert werden:
\(\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(\varphi)^2 d\varphi\)

Das neue erhaltene Integral lässt sich auf zwei Varianten lösen (1.Variante mithilfe von Partieller Integration und trigonometrischer Pythagoras (Übung) )
Die 2. Variante verwendet das Verdoppelungstheorem und den trigonometrischen Pythagoras. Es gilt:

\(\cos(2\varphi)=\cos^2(\varphi)-sin^2(\varphi)=2\cos^2(\varphi)-1\Rightarrow \cos^2(\varphi)=\frac{1}{2}(1+\cos(2\varphi))\)
Somit gilt für das Integral:
\(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(\varphi)^2 d\varphi=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}(2\cos(2\varphi)+1) d\varphi
=\frac{1}{2}\cdot[2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(2\varphi)d\varphi+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi]\)

Das erste Integral verschwindet und beim zweiten Integral erhalten wir nach Multiplikation des Vorfaktors das gewünschte Resultat (q.e.d)

Ich hoffe damit ist alles geklärt.
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Student, Punkte: 55
 

Vielen Dank 🤩   ─   alin 22.02.2021 um 12:24

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