Deine Erklärung des Homomorphiesatzes ist - umgangssprachlich soweit korrekt, ich versuche trotzdem nochmal, das ein bisschen genauer zu erklären.
Wir gehen also von dem Blickwinkel an den Homomorphiesatz, dass wir aus einem allgemeinen Gruppenhomomorphismus \(f:G\to H\) einen Isomorphismus basteln wollen. Die Surjektivität ist einfach: Wir ersetzen einfach \(H\) mit \(im(f)\), dann ist die Abbildung offensichtlich surjektiv. Für die Injektivität müssen wir mehr arbeiten. Gibt es \(g,g'\in G\) mit \(f(g)=f(g')\), dann wollen wir "vergessen", dass es sich dabei um zwei verschiedene Elemente handelt. Genau das passiert beim Bilden eines Quotienten \(G/N\), man vergisst, dass Elemente verschieden sind, wenn sie sich nur um ein Element aus \(N\) unterscheiden. In unserem Fall kann man leicht nachrechnen, dass \(g-g'\in\ker(f)\), d.h. \(G/\ker(f)\) erreicht genau, was wir wollten. Natürlich muss man jetzt noch nachrechnen, dass \(\widetilde f:G/\ker(f)\to im(f),\ g+\ker(f)\mapsto f(g)\) tatsächlich ein wohldefinierter(!) Isomorphismus ist, aber der Intuition sollte damit genüge getan sein.

Die Kernelemente sind die Elemente, die auf das neutrale Element der Bildgruppe abgebildet werden, genau. \(\ker(f)=\{g\in G:f(g)=e_H\}\). Ist z.B. \(f:\mathbb R^\times\to\mathbb R^\times, x\mapsto x^2\) (ich wollte die Abbildungsvorschrift verwenden, die du in deiner Frage angegeben hast. Ohne Angabe der Gruppen ist aber nicht beantwortbar, was der Kern ist), dann müssen wir für den Kern diejenigen Elemente \(x\in\mathbb R^\times\) bestimmen, für die \(f(x)=x^2=1\) gilt. Dies ist genau für \(\pm1\) der Fall. Das neutrale Element liegt immer im Kern, denn für jeden Gruppenhomomorphismus gilt \(f(e_G)=e_H\), hier haben wir aber noch ein zweites Element \(-1\). Also ist \(\ker(f)=\{-1,1\}\). Weiter ist \(im f=\{y\in \mathbb R^\times: \exists x\in\mathbb R^\times (x^2=y)\}\) also ist das Bild genau die positiven reellen Zahlen (für die existiert eine reelle Quadratwurzel). Nach dem Homomorphiesatz gilt nun also \(\mathbb R/\ker f=\mathbb R/\{-1,1\}\cong im f=\mathbb R^+\). Wir können uns noch überlegen, ob das Sinn macht: Ein Element auf der linken Seite ist von der Form \(x\cdot\{-1,1\}=\{-x,x\}\). Es gibt also immer ein positives und ein negatives Element. Wir haben sozusagen vergessen, welches Vorzeichen ein Element hat und genau das macht \(x\mapsto x^2\) injektiv.

Noch ein Wort zu \(\mathbb Z/n\mathbb Z\). \(\mathbb Z/3\mathbb Z\) hat genau drei Elemente, die kann man mit \(0+3\mathbb Z,1+3\mathbb Z,2+3\mathbb Z\) bezeichnen. Es ist \(3+\mathbb Z=0+\mathbb Z\), also gibt es keinen Grund, das extra aufzuzählen. Wir schreiben oft einfach nur \(0,1,2\), weil wir zu faul sind, das \(+3\mathbb Z\) immer mitzuschreiben, oder rechnen auch mit größeren Zahlen, wenn wir modulo rechnen. Man schließt also die Vielfachen von \(3\) nicht aus, man fasst sie einfach alle zusammen unter dem neutralen Element \(0+3\mathbb Z\). (Man vergisst, dass es verschiedene Zahlen sind, weil man sich nur dafür interessiert, in welcher Restklasse sie liegen.)

Ich hoffe, das hilft dir ein bisschen weiter. Das Thema ist am Anfang wirklich nicht ganz einfach zu verstehen. Wenn du noch Fragen hast, kannst du diese gern stellen, am besten mit/anhand von konkreten Beispielen.