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Du hast Ja alles richtig gerechnet bis jetzt. Eine Nullstelle liegt bei $x_0=0$. Da unter der Wurzel etwas negatives herauskommt und du aus einer negativen Zahl nicht die Wurzel ziehen kannst (vorausgesetzt du bist Schüler und kennst die komplexen Zahlen noch nicht) hat die Funktion also keine weiteren (reellen) Nullstellen. Man nennt den Ausdruck unter der Wurzel auch Diskriminante. Schaue vielleicht mal in deinen Unterlagen oder im Internet nach, wie viele Nullstellen ein quadratischer Term haben wenn die Diskriminante größer, gleich oder kleiner als Null ist.

Das heißt nur, dass es keine weiteren Nullstellen gibt.
Ungefragt: Beim Verhalten gegen unendlich hat der Folgerungspfeil nichts zu suchen. Das kann man mit Worten und mit limes beschreiben. Und für $x<0$ oder so reicht auch nicht, $x$ muss ja irgendwo hin laufen. Korrekt wäre also z.B. für $x\to ...$ gilt $f(x)\to ...$.