Richtungsableitung, partielle Ableitung, Satz von Schwarz

Erste Frage Aufrufe: 68     Aktiv: 21.05.2021 um 15:30

1
Hi vielleicht ist die Frage etwas dämlich aber ich versteh im folgenden einfach die Notationen nicht:

Meine erste Frage ist: dieses Index h (rot markiert) soll ja die Richtung angeben, das l die Anzahl wie oft ich ableite oder? (Sprich gewöhnlich l-mal einfach ableiten). Jedoch stell ich mir die Frage woher ich nun weiß nach welcher Variable ich ableiten muss? Wie berechne ich diese Richtungsableitung? Mit `gradf\cdot \vec{h}`?



Meine zweite Frage wäre was bedeutet die Notation `\del_1\del_2g(x)` (Dieser Ausdruck wurde im Zusammenhang mit dem Satz von Schwarz verwendet) Ich kann ja schlecht nach 1 bzw 2 partiell Ableiten oder ist diese Notation einfach dämlich gewählt?

Ich bedanke mich jetzt schon im vorraus für jede Antwort
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 25

 

Kommentar schreiben

1 Antwort
1

Hallo,

genau das verstehst du erstmal richtig. Es wird \(l\)-mal in Richtung des Vektors \( \vec h\) abgeleitet. Wenn \( \vec h  \) beispielsweise entlang der \( x_1\)-Achse verläuft, haben wir gerade die partielle Ableitung nach \( x_1 \).

Eine Richtungsableitung wird erstmal wie in 1D über den Differentialquotienten definiert 

$$ \partial_h f(\vec x) = \lim\limits_{t \to 0} \frac {f(\vec x + t \cdot \vec{h}) - f(\vec x)} {t } $$

In 1D kennt man es ja vermutlich eher noch, dass \(h \to 0\) läuft, aber wir haben ja jetzt \( \vec h \) als Richtungsvektor genommen, deshalb läuft hier jetzt \( t \to 0 \). 

Hier leiten wir aber nicht nach einer Variable ab, sondern eben in eine Richtung die von mehreren Variablen abhängt. 

Nun können wir uns aber in vielen Fällen das Leben etwas leichter machen und müssen nicht den Grenzwert bestimmen. Wenn die Funktion total differenzierbar ist, dann können wir die Richtungsableitung wie von dir angeben berechnen

$$ \partial_h f(\vec{x}) = \nabla f (\vec{x}) \cdot \vec h = \sum\limits_{i=1}^n \partial_i f(\vec{x}) \cdot h_i $$

Damit kommen wir also nun zu der Bedeutung von \( \partial_1 \). Das bedeutet lediglich, dass wir die partielle Ableitung nach der ersten Variable bilden. Also in unserem gewohnten kartesischen Koordinaten wäre das die \( x \) oder \( x_1 \). \( \partial_2 \) wäre dann nach \( y \) oder \( x_2 \) usw. 

Grüße Christian

Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 27.81K
 

Kommentar schreiben