Hallo,

genau das verstehst du erstmal richtig. Es wird \(l\)-mal in Richtung des Vektors \( \vec h\) abgeleitet. Wenn \( \vec h  \) beispielsweise entlang der \( x_1\)-Achse verläuft, haben wir gerade die partielle Ableitung nach \( x_1 \).

Eine Richtungsableitung wird erstmal wie in 1D über den Differentialquotienten definiert 

$$ \partial_h f(\vec x) = \lim\limits_{t \to 0} \frac {f(\vec x + t \cdot \vec{h}) - f(\vec x)} {t } $$

In 1D kennt man es ja vermutlich eher noch, dass \(h \to 0\) läuft, aber wir haben ja jetzt \( \vec h \) als Richtungsvektor genommen, deshalb läuft hier jetzt \( t \to 0 \). 

Hier leiten wir aber nicht nach einer Variable ab, sondern eben in eine Richtung die von mehreren Variablen abhängt. 

Nun können wir uns aber in vielen Fällen das Leben etwas leichter machen und müssen nicht den Grenzwert bestimmen. Wenn die Funktion total differenzierbar ist, dann können wir die Richtungsableitung wie von dir angeben berechnen

$$ \partial_h f(\vec{x}) = \nabla f (\vec{x}) \cdot \vec h = \sum\limits_{i=1}^n \partial_i f(\vec{x}) \cdot h_i $$

Damit kommen wir also nun zu der Bedeutung von \( \partial_1 \). Das bedeutet lediglich, dass wir die partielle Ableitung nach der ersten Variable bilden. Also in unserem gewohnten kartesischen Koordinaten wäre das die \( x \) oder \( x_1 \). \( \partial_2 \) wäre dann nach \( y \) oder \( x_2 \) usw. 

Grüße Christian