Aufgaben zum Dimensionssatz

Aufrufe: 55     Aktiv: 03.07.2021 um 12:58

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Aufgabe:

Seien U, V, W endlich dimensionale Vektorräume, sowie f: U -> V und g: V -> W lineare Abbildungen.

(a) Sei Z < V ein beliebiger Untervektorraum von V. Zeigen Sie, dass
dim(f-1(Z)) = dim(kern(f)) + dim(Z∩im(f)).

(b) Zeigen Sie, dass
dim(kern(g○f)) = dim(kern(f)) + dim(kern(g)∩im(f)).


Problem/Ansatz:
(a)Wir haben hier die übliche Dimensionsformel angewandt auf die Abbildung h, welche die Einschränkung von f auf den Urbildraum von Z ist.
Deren Definitionsbereich ist  f-1(Z) und weil 0 aus Z und kern(f) in f-1(Z), ist kern(f) = kern(h).
Und im(h) =
Z∩im(f), also wird aus dem Dimensionssatz angewandt auf h genau

dim(f-1(Z)) = dim(kern(f)) + dim(Z∩im(f))

 

(b)

Es ist klar, dass kern(g○f) = f-1(kern(g)).

Nun induziert f einen Isomorphismus φ: U/kern(f) → im(f) und da kern(f) ⊆ f-1(kern(g)), haben wir

dim(f-1(kern(g)) = dim(f-1(kern(g))∩im(f))

=dim(kern(f) + dim(f-1(kern(g))∩im(f)/kern(f))

= dim(kern(f)) + dim(φ-1(kern(g)∩im(f))

= dim(kern(f)) +dim(kern(g)∩im(f)), da φ ein Isomorphismus ist


Sind meine Ansätze so richtig? Kann man vielleicht irgendwas besser aufschreiben?

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