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Wenn eine Menge A eine "unechte" Teilmenge von R ist, heißt das bloß, dass A entweder eine "echte" Teilmenge von R ist, oder mit R identisch ist. Jede "echte" Teilmenge ist somit *auch* eine "unechte", aber nicht jede "unechte" ist auch eine "echte".
Damit eine Mengenfolge $U_n$ eine Menge "überdeckt", muss A eine "unechte" Teilmenge der Vereinigung über alle $U_n$ sein... das heißt mit anderen Worten, jedes Element in A muss zumindest in einem der $U_n$ enthalten sein.
Eine endliche Teilüberdeckung hat man dann, wenn man von den $U_n$ nicht wirklich alle unendlich vielen braucht, um alle Elemente von A damit "abzudecken", sondern wenn irgendein Anfangsabschnitt der $U_n$, z.B. jene mit n<42 bereits ausreichen.
Kommst du damit schon weiter?
Ein paar Tipps zur Kontrolle deiner Ansätze noch: d), e) und f) haben die gleiche Antwort, c) eine andere.
Punkte: 265
\(U_n\): = {1,2,3,...} Die Aufgabe lautet \(U_n\)= ]n,n+2[, A={5}\(\cup\){10}\(\cup\){15}\(\cup\){20,25}
In der Lösung steht, die \(U_4\), \(U_9\) und \(U_{14}\) überdecken die Zahlen 5, 10, 15. Die offenen Mengen \(U_{19}\),...,\(U_{24}\) überdecken alle Zahlen in[20, 25]. Daher ist die Familie {\(U_4, U_9, U_{14}, U_{19},...,U_{24}\)} eine endliche Überdeckung für A, die aus \(U\) stammt. Dies beweist, das \(U\) eine Überdeckung für A ist, und auch dass es eine endliche Teilüberdeckung gibt. Ich habe jetzt erstmal alles von der Lösung aufgeschrienen um mich in Latex zu üben.
Meine Frage zu dem offenen Intervall \(U_n\) = ]n,n+2[ ist folgende:
Ist mit den offenen Mengen \(U_4\), \(U_9\) und \(U_{14}\) = \(U_4\) ]4, 4+2[ lediglich die mittlere 4 gemeint, und dann noch, wenn das stimmt, warum deckt diese 4 die Zahlen 5 ab. Was ich auch wieder vergessen habe ist, die Menge?{5} ist jetzt nicht die Zahl 5?
─ atideva 12.07.2022 um 22:12
1) Ist \(U\) = {\(U_n\) : n =1,2,3,...} eine Überdeckung für A?
2) Falls dies der Fall ist, enthält \(U\) dann eine endliche Teilüberdeckung für A?.
In der nun von mir aufgeschriebenen Lösung c) ist mir ein Fehler unterlaufen. Es müsste zu Beginn heißen Die offenen Mengen, statt die Mengen. Das "offen" habe ich gedacht, aber vergessen zu schreiben.
Und jetzt nochmal zu meiner Frage:
Bei \(U_n\) = ]n,n+2[ , müsste die offene Menge \(U_4\) im Intervall dann so aussehen \(U_4\) = ]4,4+2[ und die mittlere 4 überdeckt die Zahl 5, das ist zumindest mein jetziges Verständnis Der Rand gehört ja bei einem offenen Intervall nicht zur Menge selbst, und hier bei \(U_4\) ist die linke Rand 4 und der Rechte die 2 . Die Zahl 5 kommt aber nicht in diesem offenen Intervall vor, deshalb komme ich mit dieser Lösung nicht klar. Irgendwie ist mir klar, dass meine Gedanken hier wohl verkehrt laufen, aber deswegen frage ich ja. Zum Schluss noch, die Menge {5} ist dasselbe wie die Zahl 5 ?. Ich hoffe, das jetzt alles stimmt und meine Frage hoffentlich auch klar verständlich ist. ─ atideva 13.07.2022 um 08:06