Question

Es geht um Überdeckung bzw. Teilüberdeckung

Aufrufe: 110 Aktiv: 12.05.2022 um 22:17

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In jedem Teil(a) -(f) unten werden eine Teilmenge A unechte Teilmenge von R und unendl. viele offene Teilmengen Un unechte Teilmenge von R, n = 1,2,3,.., angegeben. Beantworten Sie in jedem Teil die folgenden Fragen und begründen Sie ihre Antworten:
* Ist U = {Un : n = 1,2,3,...} eine Überdeckung für A?
* Falls dies der Fall ist, enthält U dann eine endl. Teilüberdeckung für A?

a) Un = ] -n,n [, A = 2Z := Menge der ganzen geraden Zahlen.

b) Un = R für alle n, A= leere Menge.

c) Un =] n,n+2 [ , A = {5}U{10}U{15}U[20,25]

d) Un = ]1/n,n+1[ , A = ]0,10[ .

e) Un = ]1/n,n+1[ , A = ]0,1[ .

f) Un = ]1/n,1[ , A = {1/k : k eN} Ich bin auf die schnelle damit etwas überfordert, vielleicht komme ich auf die eine oder andere Lösung, wäre aber trotzdem für Hilfestellung dankbar. Sicherheitshalber.

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gefragt 12.05.2022 um 15:44

atideva
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 122

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Poste doch einfach deine Aufgabenstellung als Bild wenn du dich schon vehement weigerst, LaTeX zu nutzen. Ich würde ganz oft gerne antworten aber sich durch diesen Buchstabensalat jedesmal quälen zu müssen macht wenig spaß. Was genau überfordert dich ? ─ zest 12.05.2022 um 16:00

Dann erkläre mir Mal, wie ich hier genau Latex verwenden kann. Es muss ja eine Möglichkeit geben, wo ich den Latex Code eingeben kann. Das ist das eine und das andere, an die Latex Codes zu kommen. ─ atideva 12.05.2022 um 16:42

"auf die schnelle" löst man Mathe-Aufgaben in der Regel auch nicht. Mach erstmal in Ruhe die, die Du selbst schaffst. Danach, falls nötig, kannst Du immer noch nach Hilfe fragen, dann konkret bitte. ─ mikn 12.05.2022 um 16:43

Dieser Link ist Dir sicher schonmal genannt worden: https://media.mathefragen.de/static/files/mathjax_howto.pdf
─ mikn 12.05.2022 um 17:09

Mir ist auch mit diesem Link nicht klar, was ich konkret tun muss um bei mathfragen latex codes zu verwenden. ─ atideva 12.05.2022 um 18:21

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Hast du es durchgelesen? Da steht wie du formeln einbaust wenn du eine Frage stellst, einen Kommentar machst oder eine Antwort schreibst. ─ karate 12.05.2022 um 18:34

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@atideva Ich habe es dir bereits mehrmals erklärt in anderen Fragen von dir. Du setzt einfach nur Dollarzeichen rechts und links von deinen mathematischen Ausdrücken. Der Link, den mikn oben verlinkt hat, erklärt alles ziemlich ausführlich.

Hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX findest du alle Befehle die du jemals brauchen wirst. ─ zest 12.05.2022 um 18:37

Ansonsten zu deiner Aufgabe: was genau verstehst du nicht? ─ zest 12.05.2022 um 18:40

zum 1. * würde ich sagen, dass es sich hier um eine Überdeckung von A handelt, weil nur n =1,2,3,.., als Menge angegeben ist. Aus diesem Grund enthält U auch eine endliche Teilüberdeckung von A. Die offenen Teilmengen verstehe ich so, dass die gesamte Menge z.B. {1,2,3,4,5,6} und die offene Teilmenge {2,3,4} ist? Bei b) würde ich sagen, dass es sich um eine Teilüberdeckung handelt, da die leere Menge eine Teilmenge von R ist. Bei a) gehe ich davon aus, dass es sich um eine Teilüberdeckung handelt, da A = 2Z:= als Menge der geraden Zahlen definiert ist. Hier fallen also alle geraden ganzen Zahlen heraus, die nicht mit 2 multipliziert sind? Ist das soweit erstmal richtig? ─ atideva 12.05.2022 um 19:19

Ich verstehe deinen ersten Satz nicht. Also genau genommen sagst du im ersten Satz nichts. Auch dein zweiter Satz ist kein Argument. Du hast eine unendliche Familie offener Teilmengen $\{U_1,U_2,....\}$ mit $U_i\subset \mathbb R$. Warum sollte nun gelten dass $A = \bigcup_{i \in \mathbb N} U_i$ ? ─ zest 12.05.2022 um 19:56

Es war dann offensichtlich eine falsche Überlegung, aber diese Antwort ist für mich nur sehr eingeschränkt hilfreich. In der Aufgabe ist zudem die Rede von unechten Teilmengen. In deinem Kommentar sind echte Teilmengen aufgeführt.. ─ atideva 12.05.2022 um 20:28

Okay, also, ich habe deine Aufgabe falsch gelesen (wenig überraschend). Die ersten zwei Sterne sind keine Aufgabenteile sondern dienen als Fragen zu den Aufgaben a)-f). Du musst also die zwei Sterne für jeweils a)-f) beantworten. ─ zest 12.05.2022 um 20:36

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1 Antwort

mathe42 · Accepted Answer · 2022-05-12T22:17:39Z

Wenn eine Menge A eine "unechte" Teilmenge von R ist, heißt das bloß, dass A entweder eine "echte" Teilmenge von R ist, oder mit R identisch ist. Jede "echte" Teilmenge ist somit *auch* eine "unechte", aber nicht jede "unechte" ist auch eine "echte".

Damit eine Mengenfolge $U_n$ eine Menge "überdeckt", muss A eine "unechte" Teilmenge der Vereinigung über alle $U_n$ sein... das heißt mit anderen Worten, jedes Element in A muss zumindest in einem der $U_n$ enthalten sein.

Eine endliche Teilüberdeckung hat man dann, wenn man von den $U_n$ nicht wirklich alle unendlich vielen braucht, um alle Elemente von A damit "abzudecken", sondern wenn irgendein Anfangsabschnitt der $U_n$, z.B. jene mit n<42 bereits ausreichen.

Kommst du damit schon weiter?

Ein paar Tipps zur Kontrolle deiner Ansätze noch: d), e) und f) haben die gleiche Antwort, c) eine andere.