Beschränktes Wachstum heißt, dass es eine Wachstumsschranke S gibt, an die sich die Bestandsfunktion (B(t) asymptotisch annähert.
Die Bestandsveränderung ist dabei proportional zur Differenz von Schranke zu aktuellem Bestand.d.h. \(B´(t)= k*(S-B(t))\), wobei k die Wachstumskonstante ist.
Damit hast du die Differentialgleichung: \(B´(t)+k*B(t)=k*S\): (inhomogene lineare DGL 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten).
Die Lösung der Differentialgleichung ist die Wachstumsfunktion: \(B(t)= S-(S-B(0))e^{-kt}\).
Hier in der Aufgabe ist S=12 Mio; B(0)=1 Mio; k=0,15.
Da t  Monate sind wächst der Absatz  nach einem Jahr = 12 Monaten  auf \(B(12)= 12-(12-1)*e^{-0,15*12}= 12-11*e^{-1,8}=10,182 Mio.\)